Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: Cho đường tròn (O) với 2 dây AX,AY. Gọi Z,T lần lượt là hình chiếu của O trên AX,AY. Biết \(\frac{OZ}{AX}=\frac{OT}{AY}\). Khi đó AX = AY.
A X Y O Z T A B C H O M C'
Chứng minh bổ đề (Quan sát hình bên trái): Thấy ngay Z và T lần lượt là trung điểm của AX,AY
Kết hợp \(\frac{OZ}{AX}=\frac{OT}{AY}\)suy ra \(\frac{OZ}{AZ}=\frac{OT}{AT}\). Mà ^OZA = ^OTA (=900) nên \(\Delta\)OAZ ~ \(\Delta\)OAT (c.g.c)
=> ^OAZ = ^OAT => 2 tam giác cân tại O: \(\Delta\)AOX và \(\Delta\)AOY bằng nhau => AX = AY.
Giải bài toán: Vẽ (O) ngoại tiếp \(\Delta\)ABC. Gọi M,N,P thứ tự là hình chiếu của O lên BC,CA,AB
Kẻ đường kính CC'. Khi đó AC' // BH (Cùng vuông góc AC), BC' // AH
Do vậy tứ giác AC'BH là hình bình hành => AH = BC' = 2OM (Vì OM là đường trung bình \(\Delta\)CBC')
Tương tự BH = 2ON, CH = 2OP. Từ đó kết hợp với giả thiết \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\)
Suy ra \(\frac{OM}{BC}=\frac{ON}{CA}=\frac{OP}{AB}\). Áp dụng Bổ đề ta thu được AB=BC=CA
Vậy nên tam giác ABC là tam giác đều (đpcm).
vừa nghĩ được một cách dễ hơn dùng tam giác đồng dạng, ta chứng minh được \(BC.AH=CA.BH=AB.CH\)
\(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{BC.AH}{BC^2}=\frac{CA.BH}{CA^2}=\frac{AB.CH}{AB^2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{CA^2}=\frac{1}{AB^2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(AB=BC=CA\)
A B C O J I N H M P
Gọi P ; M lần lượt là giao điểm của CH và BH với AB và AC
a) Ta có:^CPA = ^BMA = 90o => ^HPA = ^HMA = 90o => ^HPA + ^HMA = 180o
=> Tứ giác HPAM nội tiếp
=> ^PAM + ^PHM = 180o
=> ^BHC = ^PHM = 180o - ^PAM =180o - \(\alpha\)
b) I là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HBC
=> IB = IH = IC
=> \(\Delta\)IBH và \(\Delta\)IIHC cân tại I
=> ^IBH = ^IHB và ^ICH = ^IHC
=> ^IBH + ^ICH = ^IHB + ^IHC = ^BHC = \(180^o-\alpha\)
=> ^BIC = 360o - ^IBH - ^ICH - ^BHC = \(2\alpha\)
Ta lại có ^BOC = 2.^BAC = \(2\alpha\) ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
=> ^BIC = ^BOC (1)
Mặt khác: OB = OC; IB = IC
=> OI là đường trung trực của BC (2)
Từ (1) ; (2) => O; I nằm khác phía so với BC
Mà \(\Delta\)BIC cân => IO là đường phân giác ^BIC
=> OIC = \(\frac{1}{2}\).^BIC = \(\alpha\)
c) Từ (b) => ^BIO = ^CIO = ^BOI = ^COI
=> BOCI là hình bình hành có OI vuông BC
=> BOCI là hình thoi
mà B; C; O cố định => I cố định
Tương tự ta cungc chứng minh được: OCJA là hình thoi
=> CJ = CO = R mà C; O cố định
=> J nằm trên đường tròn tâm C bán kính R cố định
d) AJCO là hình thoi => AJ // = OC
OCIB là hình thoi => OC // = BI
=> AJ //=BI
=> AJIB là hình bình hành có hai đường chéo AI; BJ cắt nhau tại N
=> N là trung điểm của AI
Tổng quát cho câu 2 là định lí Ptolemy, như sau: Cho \(ABCD\) nội tiếp bất kì. Khi đó \(AC.BD=AB.CD+AD.BC\).
A B C D E
CM: Vẽ \(E\in AC\) sao cho \(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\).
Khi đó có hai tam giác sau đồng dạng \(ABD\) và \(EBC\), \(ABE\) và \(DBC\).
Suy ra tỉ lệ cạnh: \(\frac{AD}{EC}=\frac{BD}{BC}\) và \(\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DC}\).
Hay \(AD.BC=BD.EC\) và \(AB.DC=AE.DB\)
Cộng lại: \(AB.CD+AD.BC=BD\left(AE+EC\right)=AC.BD\)
Gọi E,D lần lượt là giao điểm của BH và AC, CH với AB
=>\(\hat{EHD}=\hat{BHC}=120^0\)
H là trực tâm của ΔABC
=>BH⊥AC tại E; CH⊥AB tại D
Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên ADHE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{DAE}+\hat{DHE}=180^0\)
=>\(\hat{BAC}=180^0-120^0=60^0\)
Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)
Kẻ OM⊥BC tại M
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của BC và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=60^0\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cos60\)
=>\(OM=R\cdot\frac12\)
Gọi AN là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔABN vuông tại B
=>BA⊥ BN
mà CH⊥BA
nên CH//BN
Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>CA⊥CN
mà BH⊥CA
nên BH//CN
Xét tứ giác BHCN có
BH//CN
BN//CH
Do đó: BHCN là hình bình hành
=>BC cắt HN tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HN
Xét ΔAHN có
O,M lần lượt là trung điểm của AN,HN
=>OM là đường trung bình của ΔAHN
=>\(AH=2\cdot OM=2\cdot\frac{R}{2}=R\)
Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}=\frac{R^2+R^2-BC^2}{2\cdot R\cdot R}\)
=>\(2R^2-BC^2=2R^2\cdot cos120=-R^2\)
=>\(BC^2=3\cdot R^2\)
=>\(BC=R\sqrt3\)
\(\frac{AH}{BC}=\frac{R}{R\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\)