a: Xét ΔBDA và ΔBEC có

BD=BE

góc B chung

BA=BC

=>ΔBDA=ΔBEC

=>AD=CE

b: Xet ΔBAC có BE/BA=BD/BC

nên ED//AC

c: Xét ΔBAC có

AD,CE là trung tuyến

AD cắt CE tại I

=>I là trọng tam

=>M là trung điểm của AC

=>IM vuông góc AC

a: Xét ΔCAB có

AE,BD là trung tuyến

AE cắt BD tại M

=>M là trọng tâm

=>CI là trung tuyến

=>CI vuông góc AB

=>IM vuông góc AB

a: Ta có; \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

\(\hat{ACB}=\hat{ECN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\hat{MBD}=\hat{NCE}\)

Xét ΔMBD vuông tại D và ΔNCE vuông tại E có

BD=CE

\(\hat{MBD}=\hat{NCE}\overline{}\)

Do đó: ΔMBD=ΔNCE

=>MD=NE

b: Xét ΔIDM vuông tại D và ΔIEN vuông tại E có

MD=NE

\(\hat{IMD}=\hat{INE}\) (hai góc so le trong, DM//EN)

Do đó: ΔIDM=ΔIEN

=>IM=IN

=>I là trung điểm của MN

A B C D E i H

A) Ta có tam giác ABC cân

=> AB = AC 

Mà AD + DB = AB

      AE + EC = AC

=> DB = EC ( AD = AE gt)

b) đề phải là BE và CD cắt nhau tại I

Ta có AD = AE 

=> Tam giác ADE cân tại A

=> Góc ADE = Góc AED

=> Góc EDB = Góc DEC ( Cùng cộng nhau bằng 180 độ )

Xét Tam giác DEB và tám giác EDC có 

 BD = EC (cmt)

Góc EDB = Góc DEC (cmt)

DE là cạnh chung

=> Tam giác DEB và tam giác EDC (c-g-c)

=> Góc DBE = Góc ECD

=> Góc IBC = Góc ICB ( cùng cộng góc  DBE và Góc ECD bằng hai góc ABC và Góc ACB)

=> Tam giác IBC cân

c) Ta có tam giác ADE cân \(\Leftrightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Và tam giác ABC cân \(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Leftrightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

Hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau 

=> DE // BC (đpcm)

d) Ta có điểm I cách đều cạnh AB và AC

=> AI là tia phân giác của tam giác ABC

trong tam giác cân tia phân giác cũng là đường cao 

=> AI vuông góc với BC

E) chứng minh HI là tia phân giác của tam giác BHC 

thì ba điểm thẳng hàng

a: Ta có: \(BD=DA=\frac{BA}{2}\)

\(BE=EC=\frac{BC}{2}\)

mà BA=BC

nên BD=DA=BE=EC

Xét ΔBEA và ΔBDC có

BE=BD

\(\hat{EBA}\) chung

BA=BC

Do đó: ΔBEA=ΔBDC

b: ΔBEA=ΔBDC

=>EA=DC

Xét ΔBAC có

AE,CD là các đường trung tuyến

AE cắt CD tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔBAC

=>\(AI=\frac23AE;CI=\frac23CD\)

mà AE=CD

nên IA=IC

=>ΔIAC cân tại I

c: Xét ΔABC có

I là trọng tâm

M là giao điểm của BI và AC

Do đó: M là trung điểm của AC

=>\(MA=MC=\frac{AC}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔBAC cân tại B

mà BM là đường trung tuyến

nên BM⊥AC tại M

ΔBMC vuông tại M

=>\(BM^2+MC^2=BC^2\)

=>\(BM^2=8^2-3^2=64-9=55\)

=>\(BM=\sqrt{55}\) (cm)

Xét ΔBAC có

I là trọng tâm

BM là đường trung tuyến

Do đó: \(MI=\frac13MB=\frac{\sqrt{55}}{3}\) (cm)