a: Xét ΔCAB và ΔCNM có

CA=CN

\(\widehat{ACB}=\widehat{NCM}\)(hai góc đối đỉnh)

CB=CM

Do đó: ΔCAB=ΔCNM

=>\(\widehat{CAB}=\widehat{CNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//MN

b:

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC

Xét ΔHAC vuông tại H và ΔKNC vuông tại K có

AC=NC

\(\widehat{HCA}=\widehat{KCN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHAC=ΔKNC

=>HC=KC

mà HB=HC

nên HB=KC

Xét ΔABH vuông tại H và ΔNCK vuông tại K có

BH=CK

\(\widehat{ABH}=\widehat{NCK}\)\(\left(=\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔABH=ΔNCK

Ta đặt $H$ là trung điểm của $BC$ vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $AH\perp BC$.

Suy ra:

$BH=HC=\frac{BC}{2}$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$AB=AC$

Trong hai tam giác vuông $\triangle AHB$ và $\triangle DHC$:

$AH=HD$

$BH=HC$

$\widehat{AHB}=\widehat{DHC}=90^\circ$

Suy ra:

$\triangle AHB=\triangle DHC$

Do đó:

$AB=DC$

Mà $AB=AC$ nên:

$\boxed{AC=CD}$

Vậy $\boxed{\triangle ACD\text{ cân tại }C}$.

Ta có:

$AC=CD$ (câu a)

$CE=CB$

Mà:

$AC=AB$

và $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Do $E$ nằm trên tia đối của tia $CB$ nên:

$\widehat{ACE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Mặt khác, $D,H,B,C$ thẳng hàng và $\triangle DHC$ vuông tại $H$, suy ra:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{DCH}$

Mà:

$\widehat{DCH}=\widehat{ACB}$

nên:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Suy ra:

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Có:

$AC=DC$

$CE=CE$

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Do đó:

$\boxed{\triangle ACE=\triangle DCE}$ (c.g.c)

Có một vấn đề: với đúng giả thiết bạn ghi thì mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp.

Đặt:

$BH=HC=x,\quad AH=h$

Khi đó:

$AB=AC=\sqrt{x^2+h^2}$

$BC=2x$

Ta có thể tính được:

$DK=\frac{2}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Vì vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sqrt{x^2+h^2}+2x>\frac{4}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Bất đẳng thức này không luôn đúng. Ví dụ lấy:

$BH=HC=1,\quad AH=10$

thì:

$AB=\sqrt{101}$

$BC=2$

$2DK=\frac{4\sqrt{104}}{3}\approx13,60$

nhưng:

$AB+BC\approx12,05<13,60$

Vì vậy câu c có thể bị thiếu điều kiện hoặc đề bị chép sai. N

a,b: Xet ΔAHC vuông tại H và ΔDKC vuông tại K có

CA=CD
góc ACH=góc DCK

=>ΔAHC=ΔDKC

=>KC=HC=1/2BC

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

b: Xét tứ giác AHED có

B là trung điểm chung của AE và HD

=>AHED là hình bình hành

=>DE//AH

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

AB=AC
AH chung

=>ΔAHB=ΔACH

b: Xét tứ giác AHED có

B là trung điểm chung của AE và HD

=>AHED là hình bình hành

=>DE//AH