ΔABC cân tại A

mà AD là trung tuyến

nên AD là đường cao

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

=>A,H,D thẳng hàng

a: Xét tứ giác BFGE có 

GE//BF

FG//BE

Do đó: BFGE là hình bình hành

Suy ra: GE//BF và GE=BF

hay GE//AF và GE=AF

Xét tứ giác AFEG có 

GE//AF

GE=AF

Do đó: AFEG là hình bình hành

a: HC vuông góc AI

IH vuông góc HM

=>góc AIH=góc MHC(1)

góc IAH=90 độ-góc ABD

góc HCM=90 độ-góc FBC

=>góc IAH=góc HCM(2)

Từ (1), (2) suy ra ΔAHI đồng dạng với ΔCMH

b: Kẻ CG//IK(G thuộc AB), CG cắt AD tại N

=>HM vuông góc CN

=>M là trựctâm của ΔHCN

=>NM vuông góc CH

=>NM//AB

=>NM//BG

=>N là trung điểm của CG

IK//GC

=>IH/GN=HK/NC

mà GN=NC

nên IH=HK

=>H là trung điểm của IK

\(a,\left\{{}\begin{matrix}BF//GE\left(gt\right)\\FG//BE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow BFGE\) là hbh \(\Rightarrow BF=GE\)

Mà \(BF=AF\left(F.là.trung.điểm.AB\right)\Rightarrow AF=GE\)

Mà \(AF//GE(BF//GE)\)

Do đó \(AFEG\) là hbh

\(b,\left\{{}\begin{matrix}BD=DC\\AE=EC\end{matrix}\right.\Rightarrow ED\) là đtb tg ABC \(\Rightarrow ED//AB\)

Mà \(EG//AB\left(gt\right)\)

Theo tiên đề Ơ-clít ta được EG trùng ED hay E,G,D thẳng hàng

\(c,\) ED là đtb tg ABC nên \(ED=\dfrac{1}{2}AB=AF=BF=GE\left(cm.trên\right)\)

Do đó E là trung điểm GD 

Mà E là trung điểm AC nên ADCG là hbh

Do đó \(CG=AD\)

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường trung tuyến

BE cắt CF tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔABC

=>BO=2OE; CO=2OF

BO=2OE

OK=2OE

Do đó: BO=OK

=>O là trung điểm cua BK

CO=2OF

OI=2OF

Do đó: CO=OI

=>O là trung điểm của CI

Xét tứ giác AOCK có

E là trung điểm chung của AC và OK

=>AOCK là hình bình hành

=>AK//CO và AK=CO

AK//CO

=>AK//OI

Xét tứ giác AIBO có

F là trung điểm chung của AB và IO

=>AIBO là hình bình hành

=>AI//BO

=>AI//OK

Ta có: \(AF=FB=\frac{AB}{2}\)

\(AE=EC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AF=FB=AE=EC

Xét ΔAEB và ΔAFC có

AE=AF

\(\hat{EAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>BE=CF

mà \(BO=\frac23BE;CO=\frac23CF\)

nên BO=CO

BO=OK

CO=OI

mà BO=CO

nên OK=OI

Xét tứ giác AIOK có

AI//OK

AK//OI

Do đó: AIOK là hình bình hành

Hình bình hành AIOK có OI=OK

nên AIOK là hình thoi

=>AO⊥IK tại trung điểm của mỗi đường

=>AO⊥IK tại G và G là trung điểm chung của AO và IK

Ta có: BK=2BO

CI=2CO

mà BO=CO

nên BK=CI

Xét tứ giác BCKI có

O là trung điểm chung của BK và CI

=>BCKI là hình bình hành

Hình bình hành BCKI có BK=CI

nên BCKI là hình chữ nhật

=>\(\hat{IBC}=\hat{KCB}=\hat{BIK}=\hat{IKC}=90^0\)

=>MI⊥IK tại I

AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

mà MI⊥BC

nên MI//AO

Xét tứ giác AMIO có

AM//IO

AO//MI

Do đó: AMIO là hình bình hành

=>MI=AO

mà AO=CK

nên MI=CK

Xét tứ giác MICK có

MI//CK

MI=CK

Do đó: MICK là hình bình hành

=>MC cắt IK tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của IK

nên G là trung điểm của MC

=>M,G,C thẳng hàng