A B C I E D F O a, góc ABC = góc ACB do tam giác ABC cân tại A (gt)

góc ABC + góc ABF = 180 (kb)

góc ACB + góc BCE = 190 (kb)

=> góc ABF = góc BCE 

xét tam giác FBD và tam giác ICE có : BF = CI (gt)

BD = CE (gt)

=> tam giác FBD = tam giác ICE (c-g-c)

b, tam giác FBD = tam giác ICE (câu a)

=> góc DFB = góc CIE (đn)

góc CIE = góc DIF (đối đỉnh)

=> góc DFI = góc DIF 

=> tam giác FDI cân tại D (dh)

c, kẻ DO // AC có ODI slt với ICE 

=> góc ODI = góc ICE (đl)      (1)

 tam giác FDI cân tại D (Câu b) => DF = DI 

mà có FD = IE do tam giác FBD = tam giác ICE (câu a) 

=>  DI = IE     (2)

xét tam giác DIO và tam giác EIC có : góc OID = góc CIE (đối đỉnh)    và (1)(2)

=> tam giác DIO = tam giác EIC (g-c-g)

=> DI = IE (đn) mà I nằm giữa D và  E

=> I Là trung điểm của DE (đn)

A B C F E I D = = - - + +

a) Ta có:

DBF + DBI = 180^o

ICE + ICA = 180^o

Mà DBI = ICA \(\Rightarrow\)DBF = ICE

Xét \(\Delta\)BFD và \(\Delta\)CIE có:

DB = CE (gt)

DBF  =ICE (cmt)

BF = CI (gt)

\(\Rightarrow\Delta\) BFD = \(\Delta\)CIE (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)BFD = \(\Delta\)CIE

\(\Rightarrow\)DFB = CIE (2 góc tương ứng)

Mà CIE = DIF (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)DFB = DIF

\(\Rightarrow\)\(\Delta\) DIF cân

c) Ta có: \(\Delta\)DFI cân \(\Rightarrow\)DF = DI

Mà DF = IE \(\Rightarrow\)ID = IE

Lại có 3 điểm 

a: Qua D, kẻ DK//AC(K∈BC)

DK//AC

=>\(\hat{DKB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DBK}=\hat{DKB}\)

=>DB=DK

mà DB=CE
nên DK=CE

Xét ΔIKD và ΔICE có

\(\hat{IKD}=\hat{ICE}\) (hai góc so le trong, KD//CE)

KD=CE
\(\hat{IDK}=\hat{IEC}\) (hai góc so le trong, DK//EC)

Do đó: ΔIKD=ΔICE
=>ID=IE và IK=IC

ID=IE nên I là trung điểm của DE

Ta có: \(\hat{ABC}+\hat{ABF}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{BCE}=180^0\) (Hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

nên \(\hat{ABF}=\hat{BCE}\)

Xét ΔFBD và ΔICE có

FB=IC

\(\hat{FBD}=\hat{ICE}\)

BD=CE

Do đó: ΔFBD=ΔICE

=>FD=IE

mà IE=ID

nên FD=ID

=>ΔFDI cân tại D

b: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}\)

nên DM//BC

c: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: NB=NC

=>N nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AN là đường trung trực của BC

a: Qua D, kẻ DK//AC(K∈BC)

DK//AC

=>\(\hat{DKB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DKB}=\hat{DBK}\)

=>DK=DB

mà DB=CE

nên DK=CE

Xét ΔIKD và ΔICE có

\(\hat{IKD}=\hat{ICE}\) (hai góc so le trong, DK//CE)

DK=CE
\(\hat{IDK}=\hat{IEC}\) (hai góc so le trong, DK//CE)

Do đó: ΔIKD=ΔICE
=>ID=IE và IK=IC

ID=IE

=>I là trung điểm của DE

Ta có: \(\hat{ABC}+\hat{ABF}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{ICE}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABF}=\hat{ICE}\)

Xét ΔDBF và ΔECI có

DB=EC

\(\hat{DBF}=\hat{ECI}\)

BF=EI

Do đó: ΔDBF=ΔECI

=>DF=EI

mà EI=DI

nên DF=DI

=>ΔDFI cân tại D

b: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}\)

nên DM//BC

c: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: NB=NC

=>N nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AN là đường trung trực của BC

a: Qua D, kẻ DK//AC(K∈BC)

DK//AC

=>\(\hat{DKB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DKB}=\hat{DBK}\)

=>DK=DB

mà DB=CE

nên DK=CE

Xét ΔIKD và ΔICE có

\(\hat{IKD}=\hat{ICE}\) (hai góc so le trong, DK//CE)

DK=CE
\(\hat{IDK}=\hat{IEC}\) (hai góc so le trong, DK//CE)

Do đó: ΔIKD=ΔICE
=>ID=IE và IK=IC

ID=IE

=>I là trung điểm của DE

Ta có: \(\hat{ABC}+\hat{ABF}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{ICE}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABF}=\hat{ICE}\)

Xét ΔDBF và ΔECI có

DB=EC

\(\hat{DBF}=\hat{ECI}\)

BF=EI

Do đó: ΔDBF=ΔECI

=>DF=EI

mà EI=DI

nên DF=DI

=>ΔDFI cân tại D

b: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}\)

nên DM//BC

c: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: NB=NC

=>N nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AN là đường trung trực của BC