Xét ΔABC có \(cosABC=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}=\frac{6^2+4^2-6^2}{2\cdot6\cdot4}=\frac{4^2}{2\cdot4\cdot6}=\frac{16}{8\cdot6}=\frac{16}{48}=\frac13\)

Ta có: BD là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABC}=2\cdot\hat{ABD}\)

=>\(cosABC=cos\left(2\cdot ABD\right)\)

=>\(2\cdot cos^2ABD-1=cosABC\)

=>\(2\cdot cos^2ABD-1=\frac13\)

=>\(2\cdot cos^2ABD=\frac43\)

=>\(cos^2ABD=\frac23\)

=>\(cosABD=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}\)

=>\(cos\left(\frac{ABC}{2}\right)=\frac{\sqrt6}{3}\)

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(BD=\frac{2\cdot BA\cdot BC}{BA+BC}\cdot cos\left(\frac{ABC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot6\cdot4}{6+4}\cdot\frac{\sqrt6}{3}=\frac{8\cdot6}{10}\cdot\frac{\sqrt6}{3}=\frac{8\cdot2\cdot\sqrt6}{10}=\frac{8\sqrt6}{5}\) (cm)

Ta có: \(\hat{ABD}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

AB=AC

\(\hat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

=>BD=CE

=>\(CE=\frac{8\sqrt6}{5}\) (cm)

Áp dụng định lí : Trong 1 tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực , đường cao.
=> AB= AC = 20cm AD vuông góc với BC và BD = CD
Vì BD + CD = BC BD + CD = 5cm
Mà BD = CD = 5/2 = 2,5 cm
Áp dụng định lí Py ‐ ta ‐ go cho tam giác vuông ABD có :
AB 2 = BD 2 + AD 2
=> 20 2 = BD 2 + 2,5 2
=> 400 = BD 2 + 6,25
=> BD 2 = 400 ‐ 6,25 = 393,75
=> BD = căn 393 ,75

#Học tốt#

a) \(BM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.10=5\left(cm\right)\)

Tam giác ABM có MD là p/giác

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{6}{5}\)

b) Tam giác AMC có ME là p/giác

\(\Rightarrow\dfrac{MC}{AM}=\dfrac{EC}{AE}\)

Mà: MC = BM (GT)

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{EC}{AE}\)

c) Có: \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AM}{BM}\left(cmt\right)\) (1)

Tam giác AMC có ME là p/giác

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\)

Mà: BM = MC (GT)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{BM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{EC}\)

=> DE // BC

a) Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

nên \(MB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔAMB có MD là đường phân giác ứng với cạnh AB(Gt)

nên \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AM}{BM}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{6}{5}\)