X=7cm

Kẻ đường cao AH, ta tính được AH = 32cm.

Do AH > HC nên tâm O nằm giữa A và H. Đặt OH = x. Kẻ OM $\perp$ AC.

Ta có: $\Delta AMO\backsim \Delta AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow \frac{32-x}{40}=\frac{20}{32}$.

Từ đó tính được x = 7cm.

Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow AH\perp BC\) và O thuộc AH do tam giác ABC cân tại A

\(CH=\dfrac{1}{2}BC=24\left(cm\right)\)

Áp dụng Pitago: \(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=32\left(cm\right)\)

Gọi D là trung điểm AC \(\Rightarrow\) OD là trung trực AC hay \(OD\perp AC\)

\(AD=\dfrac{1}{2}AC=20\left(cm\right)\)

Hai tam giác vuông ADO và AHC đồng dạng (chung góc A)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AC}\Rightarrow AO=\dfrac{AD.AC}{AH}=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow OH=AH-AO=7\left(cm\right)\)

Kẻ AH vuông góc với BC,suy ra AH=32 cm và A,O,H thảng hàng.

Mà AH>CH >>>O nằm giữa A và H.Kẻ OM vuông góc với AC suy ra tam giác AMO đồng dạng với AHC>>>AM/AH=AO/AC

>>>20/32=(32-OH)/40>>>OH=7cm >>>khoảng cách là 7 cm

A B C H D O

Kẻ Đường kính AD sao cho A , O , D , H thẳng hàng . 

HB = HC = BC : 2 = 24 

Tam giác AHC vuông tại H , Theo py ta go tính AH 

Tam giác ABD nội tiếp đường tròn tâm O  đường kính AD 

=> Tam giác ABD vuông tại B theo HTL tính AD 

OA = AD : 2 = .... 

OH = AH - OA 

ΔABC cân tại A

=>AB=AC

=>AB=5a

Kẻ AH⊥BC tại H

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)

Gọi AK là đường kính của (O)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,O thẳng hàng

mà A,O,K thẳng hàng

nên A,H,O,K thẳng hàng

=>d(O;BC)=OH

H là trung điểm của BC

=>HB=HC=6a/2=3a

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2=\left(5a\right)^2-\left(3a\right)^2=16a^2\)

=>HA=4a

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

Xét ΔABK vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AK=AB^2\)

=>AK=(5a)^2/4a=25a^2/4a=6,25a

=>OA=6,25a/2=3,125a

AO+OH=AH

=>OH=4a-3,125a=0,875a

a: Kẻ MH⊥AB tại H và OK⊥AB tại K

=>OK//MH

M là trung điểm của CA

=>\(CM=MA=\frac{5a}{2}=2,5a\)

ΔAHM vuông tại H

=>\(HM^2+HA^2=AM^2\)

=>\(AH^2=\left(2,5a\right)^2-\left(2a\right)^2=2,25a^2\)

=>AH=1,5a

ΔOAB cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>KA=KB =AB/2=3a

Vì AH=1/2AK

nên H là trung điểm của AK

Xét ΔAKC có AH/AK=AM/AC

nên HM//KC

mà HM//KO

và KC,KO có điểm chung là K

nên C,O,K thẳng hàng

=>CK⊥AB tại K

Xét ΔCAB có

CK là đường cao

CK là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAB cân tại C

b: ΔCAB cân tại C

=>CA=CB=5a; AB=6a

Xét ΔCAB có \(cosACB=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

\(=\frac{\left(5a\right)^2+\left(5a\right)^2-\left(6a\right)^2}{2\cdot5a\cdot5a}=\frac{50a^2-36a^2}{2\cdot25a^2}=\frac{14a^2}{50a^2}=\frac{7}{25}\)

=>\(\sin ACB=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\frac{24}{25}\)

Xét ΔACB có \(\frac{AB}{\sin ACB}=2R\)

=>\(2R=6a:\frac{24}{25}=6a\cdot\frac{25}{24}=\frac{150a}{24}=\frac{75a}{12}=\frac{25a}{4}\)

=>R=25a/8