a: AC=4cm

=>S_ABC=6cm²

\(a,\) Vì AM là trung tuyến tam giác cân tại A nên AM cũng là đường cao

Vì D là trung điểm AC và MN nên AMCN là hình bình hành

Mà \(AM\bot BC\Rightarrow AM\bot MC\)

Do đó: AMCN là hình chữ nhật

\(b,\) Vì AMCN là hcn nên \(AM=AC;AN=MC\)

Mà \(AB=AC;MB=MC\Rightarrow AM=AB;AN=MB\)

Vậy ABMN là hình bình hành

\(c,\) Ta có \(BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)\)

Áp dụng PTG vào tam giác ABM vuông M

\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=4\left(cm\right)\)

Do đó \(S_{AMCN}=AM\cdot MC=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

a) Xét tam giác ABC cân tại A: AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC. \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMC}\) = 90^o.

Xét tứ giác AMCN có:

+ D là trung điểm của MN (N đối xứng với M qua D).

+ D là trung điểm của AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb).

Lại có:  \(\widehat{AMC}\) = 90^o (cmt).

 \(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (cmt).

\(\Rightarrow\) AN // MC (Tính chất hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) AN // BM.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC (gt). \(\Rightarrow\) M là trung điểm của BC.

\(\Rightarrow\) BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà AN = MC (Tứ giác AMCN là hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) BM = MC = AN.

Xét tứ giác ABMN có:

+ BM = AN (cmt).

+ BM // AN (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABMN là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC = \(\dfrac{1}{2}\).6 = 3 (cm).

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AB² = AM² + BM² (Định lý Pytago).

Thay số: 5² = AM² + 3².

\(\Leftrightarrow\) 25 = AM² + 9. \(\Leftrightarrow\) AM² = 16. \(\Leftrightarrow\) AM = 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật AMCN là: 3 . 4 = 12 (cm²).

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC=BC/2

Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>MD//AC và \(MD=\frac{AC}{2}\)

MD//AC

=>ME//AC

\(MD=\frac{AC}{2}\)

\(MD=\frac{ME}{2}\)

Do đó: ME=AC

Xét tứ giác AEMC có

ME//AC

ME=AC

Do đó: AEMC là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABFC có

M là trung điểm chung của AF và BC

=>ABFC là hình bình hành

Hình bình hành ABFC có \(\hat{BAC}=90^0\)

nên ABFC là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có MA=MB

nên AMBE là hình thoi

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

ABFC là hình chữ nhật

=>\(S_{ABFC}=AB\cdot AC=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a)

Ta có: M và E đối xứng với nhau qua D(gt)

nên D là trung điểm của ME

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)

D là trung điểm của AB(gt)

Do đó: MD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

hay MD//AC và \(MD=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E\(\in\)MD và \(MD=\dfrac{ME}{2}\)(D là trung điểm của ME)

nên ME//AC và ME=AC

Xét tứ giác AEMC có 

ME//AC(cmt)

ME=AC(cmt)

Do đó: AEMC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Xét tứ giác ABFC có

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AF(A và F đối xứng nhau qua M)

Do đó: ABFC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành ABFC có \(\widehat{CAB}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên ABFC là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a: Ta có: MD⊥AB

AC⊥BA

Do đó: MD//AC

ME⊥AC

AB⊥CA

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBN có

D là trung điểm chung của AB và MN

=>AMBN là hình bình hành

Hình bình hành AMBN có MN⊥AB

nên AMBN là hình thoi

c: AMBN là hình thoi

=>AN//BM và AN=BM

AN//BM

=>AN//CM

AN=BM

BM=CM

Do đó: AN=CM

Xét tứ giác ANMC có

AN//MC

AN=MC

Do đó: ANMC là hình bình hành