Hình

A B C H D K

a)) Xét tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến 

=> BH = HC

Xét tam giác BCD có: AH // BD (vì cùng vuông góc với BC) và H là trung điểm của BC

=> AH là đường trung bình ==> \(AH=\frac{1}{2}BD\)=> BD = 2AH

b) Xét tam giác BCD vuông tịa B có BK là đường cao

=> \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=> \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{\left(2AH\right)^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)

a, Chứng minh AH là đường trung bình của tam giác BCD

b, Sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông BCD và áp dụng câu a)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{ADE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ACH}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

nên \(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{AED}+\hat{IAC}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{IAC}=90^0\)

mà \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)

=>IA=IC

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{IAB}+\hat{ADE}=90^0\)

=>\(\hat{IAB}+\hat{ACB}=90^0\)

mà \(\hat{IBA}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

=>IA=IB

mà IA=IC

nên IB=IC

=>I là trung điểm của BC

b: Sửa đề: cắt DH tại K

Xét ΔEAD vuông tại A và ΔHDA vuông tại D có

EA=HD

DA chung

Do đó: ΔEAD=ΔHDA

=>\(\hat{EDA}=\hat{HAD}\)

TA có: AK⊥IA

AI⊥DE

Do đó: DE//AK

=>\(\hat{EDA}=\hat{DAK}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{EDA}=\hat{HAD}\) (cmt)

nên \(\hat{DAK}=\hat{DAH}\)

=>AB là phân giác của góc HAK

c: Sửa đề: \(AD\cdot DB+AE\cdot EC\le AI^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(HD^2+HE^2=HA^2\)

=>\(AH^2=DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

mà AH<=AI

nên \(DA\cdot DB+EA\cdot EC\le AI^2\)

a) Do AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow\) AH cũng là đường trung tuyến trong tam giác ABC

Suy ra H là trung điểm của BC.

mà AH//BD (vì cùng vuông góc với BC)

\(\Rightarrow\) AH là đường trung bình của tam giác DBC

\(\Rightarrow\) 2AH=BD

b)Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông có 

\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BD^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{\left(2AH\right)^2}+\dfrac{1}{BC^2}\) \(=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Vậy...

trinhf bày rõ hơn được không bạn ơii

a) Xét tam giác BHI và tam giác ABI:

BHI = ABI (=90^o)

HBI = BAI ( cùng phụ ABH)

=> Tg BHI ~ tg ABI (g.g)

=> \(\frac{IH}{BI}\)= \(\frac{BI}{IA}\) 

=> BI² = IH.IA (1)

Xét tam giác BCD có:

IH // CD (cùng vuông góc BC)

H trđ BC ( tam giác ABC cân tại Acó AH là dg cao => AH là dg trung tuyến)

=> I trđ BD => BI = ID (2)

Từ (1), (2) => ID² = IH.IA (dpcm)

b) Ta có: DCK = CBK ( cùng phụ BCK)

Mà BAH = CBK (cmt)

=> DCK = BAH

Xét tg CKD và tg ABI:

DCK = BAI (cmt)

CKD = ABI ( =90^o)

=> Tg CKD ~ tg ABI ( g.g)

"Còn NC = NK mình nhìn mắt thường còn chưa thấy nó bằng nhau lun á"

a) Tg ABC cân tại A có AH vuông BC (gt)

=> BH=HC

- Tg BDC có :

BH=HC (cmt)

HI//CD (cùng vuông BC)

=> BI=ID (đường TB)

- Xét tg ABI vuông tại B, đường cao BH có :

IH.IA=BI² (htl)

Mà BI=ID (cmt)

=> ID²=IH.IA

b) Xét tg CKD và ABI có :

\(\widehat{CKD}=\widehat{ABI}=90^o\)

\(\widehat{AIB}=\widehat{CDK}\)(AI//CD)

=> Tg CDK~ABI (g.g)

\(\Rightarrow\frac{CK}{AB}=\frac{KD}{BI}\)

=> CK.BI=KD.AB (1)

Có : CK//AB\(\Rightarrow\frac{NK}{AB}=\frac{DK}{DB}\left(Talet\right)\)

=> NK.DB=AB.DK (2)

-Từ (1) và (2) => CK.BI=NK.DB=NE.2BI

=> CK=2NK

\(\Rightarrow NK=NC=\frac{CK}{2}\left(đccm\right)\)

#H