a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.

Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DH$.

Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.

Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $EH$.

Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.

Do $AC\perp AB$ nên:

$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.

Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.

Vậy $ADHK$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.

Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.

Ta có: $AD=AH=AE$.

Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.

Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.

Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $AM\perp IK$.

Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:

$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác: $I=AD\cap BH$.

Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:

$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.

Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.

Suy ra: $AM\perp IK$.

Sửa đề: H đối xứng D qua AB, E đối xứng H qua AC

H đối xứng D qua AB

=>AB là đường trung trực của HD

=>AH=AD và BH=BD

H đối xứng E qua AC

=>AC là đường trung trực của HE

=>AH=AE và CH=CE
Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\hat{HAB}=\hat{DAB}\)
=>AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

CH=CE

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\hat{HAC}=\hat{EAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{EAD}=\hat{EAH}+\hat{DAH}\)

\(=2\cdot\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)\)

\(=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

mà AE=AD(=AH)

nên A là trung điểm của DE

Bài 2: 

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường trung tuyến

nên AH là đường cao

b: Xét tứ giác BHAD có 

I là trung điểm của AB

I là trung điểm của HD

Do đó: BHAD là hình bình hành

mà \(\widehat{AHB}=90^0\)

nên BHAD là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

b: Xét ΔAED có AH/AE=AM/AD

nên HM//ED

=>ED//CB

Xet ΔCAE có

CH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔCAE can tại C

=>CA=CE=BD

Vì BC//ED và BD=CE
nên BCDE là hình thang cân

c: Xét tứ giác AHCK có

N là trung điểm chung của AC và HK

góc AHC=90 độ

=>AHCK là hình chữ nhật

Các bạn ơi, giúp mình vs

giúp mik vs

a: Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm chung của AB và HE

=>AHBE là hình bình hành

Hình bình hành AHBE có \(\hat{AHB}=90^0\)

nên AHBE là hình chữ nhật

b: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC

AHBE là hình chữ nhật

=>AE//HB và AE=HB

AE//HB

=>AE//HC

AE=HB

HB=HC

Do đó: AE=HC

Xét tứ giác AEHC có

AE//HC

AE=HC

Do đó: AEHC là hình bình hành

=>AH cắt EC tại trung điểm của mỗi đường

mà N là trung điểm của AH

nên N là trung điểm của EC

c: H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(S_{AHB}=\frac12\cdot HA\cdot HB=\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot48=24\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

M là trung điểm của AB

=>\(AM=\frac12\cdot AB\)

=>\(S_{AMH}=\frac12\cdot S_{AHB}=\frac12\cdot24=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)