a) Ta có $△ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$ mà $AB=2BE$; $AC=2CD$ (vì $E,D$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $AC)$.

Do đó ta có $2BE=2CD$ hay $BE=CD$.

Xét $△BCE$ và $△CBD$ có $BE=CD$ (chứng minh trên);

𝐸𝐵𝐶^=𝐷𝐶𝐵^EBC=DCB;

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BCE=△CBD$ (c.g.c)

$\Rightarrow CE=BD$ (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên 𝐵𝐺=23𝐵𝐷BG=32​BD và 𝐶𝐺=23𝐶𝐸CG=32​CE (tính chất trọng tâm).

Mà $CE=BD$ (phần a) nên 23𝐶𝐸=23𝐵𝐷32​CE=3<...

Cho ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC. BD, CE là trung tuyến ⇒ D là trung điểm AC, E là trung điểm AB. G là trọng tâm ⇒ BG = 2/3 BD CG = 2/3 CE --- a) Chứng minh BD = CE Vì AB = AC D, E lần lượt là trung điểm AC và AB Tam giác cân tại A có hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì bằng nhau ⇒ BD = CE. --- b) Chứng minh ΔGBC cân Từ trên: BD = CE Mà BG = 2/3 BD CG = 2/3 CE ⇒ BG = CG Vậy ΔGBC cân tại G. --- c) Chứng minh GD + GE > 1/2 BC Ta có: GD = 1/3 BD GE = 1/3 CE ⇒ GD + GE = 1/3 (BD + CE) Vì BD = CE ⇒ GD + GE = 2/3 BD Trong tam giác ABC: BD > 1/2 BC (trung tuyến ứng với cạnh bên của tam giác cân lớn hơn nửa đáy) ⇒ 2/3 BD > 1/2 BC Suy ra GD + GE > 1/2 BC.

a) Chứng minh BD = CE Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC BD là đường trung tuyến của AC

AC -> AD = DC = 1/2 AC

CE là đường trung tuyến của

AB -> AE = EB = 1/2 AB

Do AB = AC, ta suy ra AD = AE

Xét tam giác ABC và tam giác ACE có:

AB = AC (gt)

A chung

AD = AE ( cm )

-> Tam giác ABD = tam giác ACE ( c.g.c )

-> BD = CE ( hai cạnh tương ứng )

a, xét tam giác ABC và tam giác ACE

có: AB = AC do tam giác ABC cân tại A

góc A là góc chung

AD = 1/2 AC và AE = 1/2 AB (do BD là trung tuyến)

vì AB = AC nên AD = AE

do đó tam giác ABD bằng tam giác ACE ( c.g .c )

suy,ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b, xét tam giác ACB và tam giác ABC

ta có EC = BD (chứng minh trên)

góc B bằng góc C hai góc đáy của tam giác ABC cân tại A

BC cạnh chung

suy ra góc GBC bằng góc GCB(hai góc tương ứng )

vì tam giác GBC có góc GBC= góc GCB

nên tam giác cân BC là một tam giác cân tại G

c, vì G là trọng tâm nên ta có

GD = 1/3 BD và GE = 1/3 CE

Do đó GD + GE =1/3 BD + 1/3 CE = 1/3( BD + CE)

mà BD = CE suy ra BD + CE = 2 BD

suy ra GD + GE = 1/3 x 2 BD = 2/3 BD

trong đó tam giác ABC đường trung tuyến nhỏ hơn cạnh đối diện

suy ra BD >BC

suy ra 2/3 BD > 2/3 x 1/2 BC= 1/3 BC

vì 2/3 BD > 1/2 BC

suy ra GD + GE = 2/3 BD > 1/2 BC suy ra GD + GE > 1/2 BC

a)Chứng minh BD = CE

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

AB = AC (GT).

Góc A chung .

AD = AE (do D,E lần lượt là trung điểm của hai cạnh bằng nhau AC và AB.)

Suy ra ∆ABD=∆ACE (c.g.c).

Suy ra BD =CA.

b) Chứng minh ∆GBC cân .

Vì ∆ABD =∆ACE, (CM trên) nên góc ABD =góc ACE

Mà ∆ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB.

Ta có:

Góc GBC = góc ABC-ABD.

Góc GCB=góc ACB-góc ACE

Suy ra góc GBC=gócGCB. Do đó ∆GBC cân tại G .

c) chứng minh GD+GE >1/2 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên :

GĐ =1/2 GB và GE = 1/2 GC ( đó GĐ =1/3 BD, GB = 2/3 BD).

Chồng ∆GBC , theo bất đẳng thức tam giác ta có:

GB+GC>BC.

Thấy GB =2GD và GC = 2GE vào:

2GD+2GE>BC.

Suy ra 2 ( GĐ+GE)>BC suy ra GD+GE> 1/2BC (đpcm).

Vì BD,CE là hai đường chung tuyến

a) Chứng minh BD = CE: ​Vì \triangle ABC cân tại A \Rightarrow AB = AC và \angle ABC = \angle ACB. ​D, E là trung điểm AC, AB \Rightarrow AD = DC = AE = EB = \frac{1}{2}AB. ​Xét \triangle BDC và \triangle CEB có: BC chung; \angle BCD = \angle CBE; CD = BE. ​\Rightarrow \triangle BDC = \triangle CEB (c.g.c) \Rightarrow BD = CE. ​b) Chứng minh \triangle GBC cân: ​Từ \triangle BDC = \triangle CEB \Rightarrow \angle DBC = \angle ECB. ​\triangle GBC có hai góc đáy bằng nhau nên là tam giác cân tại G. ​c) Chứng minh GD + GE > \frac{1}{2}BC: ​Trong \triangle GBC, có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác). ​Mà GD = \frac{1}{2}GB và GE = \frac{1}{2}GC (tính chất trọng tâm: GD = \frac{1}{3}BD, GB = \frac{2}{3}BD \Rightarrow GD = \frac{1}{2}GB). ​\Rightarrow 2GD + 2GE > BC \Rightarrow GD + GE > \frac{1}{2}BC

\triangle ABC cân tại A, suy ra AB = AC. BD và CE là các đường trung tuyến. D là trung điểm của AC (AD = DC = \frac{1}{2}AC). E là trung điểm của AB (AE = EB = \frac{1}{2}AB). G là trọng tâm của \triangle ABC.

Suy ra, \triangle ABD = \triangle ACE (cạnh - góc - cạnh). Do đó, BD = CE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE, nên G là trọng tâm của \triangle ABC. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh.

Ta có: BG = \frac{2}{3}BD CG = \frac{2}{3}CE Theo kết quả câu a), ta có BD = CE. Do đó, BG = CG. Vì BG = CG, suy ra \triangle GBC là tam giác cân tại G. c) Chứng minh GD + GE > \frac{1}{2}BC Ta tiếp tục sử dụng tính chất của trọng tâm:

GD = \frac{1}{3}BD GE = \frac{1}{3}CE Vì BD = CE (theo câu a), nên GD = GE. Xét \triangle GBC, theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại: BG + CG > BC Thay BG = 2GD và CG = 2GE vào bất đẳng thức trên: 2GD + 2GE > BCGD = \frac{1}{3}BD

• Vì  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cân tại  A𝐴 nên  𝐴𝐵 =𝐴𝐶 và  ∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵.
• Vì  BD𝐵𝐷 và  CE𝐶𝐸 là hai đường trung tuyến nên  D𝐷 là trung điểm  AC𝐴𝐶,  E𝐸 là trung điểm  AB𝐴𝐵.
  ⇒𝐴𝐷 =𝐷𝐶 =12𝐴𝐶 và  𝐴𝐸 =𝐸𝐵 =12𝐴𝐵.
• Mà  𝐴𝐵 =𝐴𝐶 ⇒𝐵𝐸 =𝐶𝐷.
• Xét  △BDC△𝐵𝐷𝐶 và  △CEB△𝐶𝐸𝐵 có:
• 1. BC𝐵𝐶: Cạnh chung.
  2. ∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐶𝐵𝐸 (do  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cân tại  A𝐴).
  3. 𝐶𝐷 =𝐵𝐸 (chứng minh trên).
• Vậy  △𝐵𝐷𝐶 =△𝐶𝐸𝐵 (c.g.c)  ⇒BD=CE⇒𝐁𝐃=𝐂𝐄 (hai cạnh tương ứng).

• Từ kết quả  △𝐵𝐷𝐶 =△𝐶𝐸𝐵 ở câu (a), ta có các góc tương ứng bằng nhau:  ∠𝐶𝐵𝐷 =∠𝐵𝐶𝐸.
• Hay  ∠𝐺𝐵𝐶 =∠𝐺𝐶𝐵.
• Xét  △GBC△𝐺𝐵𝐶 có hai góc ở đáy bằng nhau nên  △GBC△𝐺𝐵𝐶 cân tại  G𝐺.

• Vì  G𝐺 là trọng tâm  △ABC△𝐴𝐵𝐶 (giao điểm hai đường trung tuyến), theo tính chất trọng tâm:
  𝐺𝐷 =12𝐺𝐵 và  𝐺𝐸 =12𝐺𝐶.
• Cộng vế theo vế, ta được:  𝐺𝐷 +𝐺𝐸 =12 ( 𝐺𝐵 +𝐺𝐶 ).
• Trong  △GBC△𝐺𝐵𝐶, áp dụng bất đẳng thức tam giác:  𝐺𝐵 +𝐺𝐶 >𝐵𝐶.
• Nhân cả hai vế với  1212:  12 ( 𝐺𝐵 +𝐺𝐶 ) >12𝐵𝐶.
• Vậy  𝐺𝐷 +𝐺𝐸 >12𝐵𝐶 (điều phải chứng minh).

a)Chứng minh \(B D = C E\)

• Vì \(A B C\)
• \(D\)

Xét hai tam giác \(A B D\)

• \(A B = A C\)
• \(A D = A E\)
• Góc \(A\)

⇒ \(\triangle A B D = \triangle A C E\)

⇒ \(B D = C E\)

b) Chứng minh tam giác \(G B C\)

Vì \(G\)

\(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E\)

Mà theo câu a: \(B D = C E\)

⇒ \(B G = C G\)

⇒ tam giác \(G B C\)

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Ta có:

\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E\)

⇒

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right)\)

Theo câu a: \(B D = C E\)

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D\)

Từ bài toán đã biết:

\(B D + C E > \frac{3}{2} B C\)

⇒

\(2 B D > \frac{3}{2} B C \Rightarrow B D > \frac{3}{4} B C\)

Suy ra:

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} B C = \frac{1}{2} B C\)

a) D là trung điểm AC nên AD = 1 2 AC E là trung điểm AB nên AE = 1 2 AB. ∆ABC cân tại A nên AB = AC. Suy ra AE = AD. Xét ∆ADB và ∆AEC, có: AB = AC (chứng minh trên); ˆ B A C là góc chung; AE = AD (chứng minh trên). Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c). b) G là trọng tâm của ∆ABC nên B G = 2 3 B D và C G = 2 3 C E . Mà BD = CE (do ∆ADB = ∆AEC) Nên BG = CG Do đó ∆GBC cân tại G. c) G là trọng tâm tam giác ABC nên G D = 1 2 G B , G E = 1 2 G C Do đó G D + G E = 1 2 ( G B + G C ) . Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB). Suy ra G D + G E > 1 2 B C

GD+GE>1/2BC