a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

b: Xét ΔMAD và ΔMBH có

góc MAD=góc MBH

MA=MB

góc AMD=góc BMH

=>ΔMAD=ΔMBH

=>AD=BH

mà AD//BH

nên ADBH là hình bình hành

=>BD=AH

Trả lời phần d thôi nhé

I A B C H E F

a, Vì △ABC cân tại A => AB = AC và ABC = ACB

Xét △BAH và △CAH cùng vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      AB = AC (cmt)

=> △BAH = △CAH (ch-cgv)

b, Vì △BAH = △CAH (cmt)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

mà BH + CH = BC

=> BH = CH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

Xét △BAH vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (định lý Pytago)

=> AH² = AB² - BH² = 10² - 6² = 64

=> AH = 8 (cm)

c, Vì EH // AC (gt) => ∠HAC = ∠AHE (2 góc so le trong)

Mà ∠HAC = ∠HAB (△CAH = △BAH)

=> ∠AHE = ∠HAB  => ∠AHE = ∠HAE 

=> △AHE cân tại E

d, Gọi { I } = EH ∩ BF

Vì HE // AC (gt) => ∠EHB = ∠ACB (2 góc đồng vị)

Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)

=> ∠EHB = ∠ABC => ∠EHB = ∠EBH => △EHB cân tại E => EB = EH

Mà EA = HE (△AHE cân tại E)

=> EA = BE 

Xét △BAH có: E là trung điểm AB (EA = BE)  => HE là đường trung tuyến

F là trung điểm AH => BF là đường trung tuyến 

EH ∩ BF = { I } 

=> I là trọng tâm của △BAH

\(\Rightarrow BI=\frac{2}{3}BF\) và \(HI=\frac{2}{3}EH\)

Xét △BHI có: BI + HI > BH (bđt △)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}BF+\frac{2}{3}EH>\frac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\left(BF+EH\right)>\frac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow BF+EH>\frac{BC}{2}\div\frac{2}{3}=\frac{BC}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}BC\) (đpcm)

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AB=AC
\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{AHB}=\hat{AHC}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{AHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AHB}=\hat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AH⊥BC tại H

b: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH,BD là các đường trung tuyến

AH cắt BD tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(AG=\frac23AH=\frac23\cdot6=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Ta có: HK//AC

=>\(\hat{KHB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{KBH}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{KBH}=\hat{KHB}\)

=>KB=KH

Ta có: HK//AC

=>\(\hat{KHA}=\hat{HAC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{HAC}=\hat{KAH}\) (AH là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{KHA}=\hat{KAH}\)

=>KH=KA

mà KB=KH

nên KA=KB

=>K là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

K là trung điểm của AB

G là trọng tâm

Do đó: C,G,K thẳng hàng

a) Chứng minh rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH vuông góc với BC

✳️ Dữ kiện:

• Tam giác ABC cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• \(A H\) là phân giác ⇒ \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)

✳️ Xét 2 tam giác \(\triangle A H B\) và \(\triangle A H C\):

So sánh:

• \(A B = A C\) (do tam giác cân tại A)
• \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)(do \(A H\) là phân giác)
• Cạnh chung: \(A H\)

✅ Suy ra:

\(\triangle A H B = \triangle A H C (\text{c}-\text{g}-\text{c})\)

✳️ Suy ra: \(H B = H C\) và \(\hat{A H B} = \hat{A H C}\)

→ Mà \(H B = H C\), nên \(H\) cách đều \(B\) và \(C\)

⇒ \(A H\) là đường phân giác đồng thời là trung tuyến trong tam giác cân

→ Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với đỉnh cân còn là đường cao

✅ Vậy \(A H \bot B C\)

b) Điểm D là trung điểm của AC, BD cắt AH tại G. Biết AH = 6cm. Tính AG

✳️ Dữ kiện:

• \(D\): trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(\triangle A B C\) cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• Mà \(D\): trung điểm của \(A C\) ⇒ không đối xứng hoàn toàn, nhưng vẫn đủ điều kiện dùng định lý Menelaus hoặc định lý trọng tâm nếu phù hợp

→ Tuy nhiên, vì:

• \(D\) là trung điểm \(A C\)
• \(A B = A C\) ⇒ \(B\) đối diện với cạnh có điểm trung điểm
• Áp dụng định lý trung tuyến, trong tam giác \(A B C\), khi nối đỉnh \(B\) với trung điểm \(D\) của \(A C\), thì:

\(\text{Giao}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B D \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};(\text{trong}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{AH}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}) \Rightarrow G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \triangle A B C\)

✳️ Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)

⇒ Trong tam giác, trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ:

\(A G : G H = 2 : 1\)

→ \(A H = A G + G H = 3 p h \overset{ˋ}{\hat{a}} n\)

→ \(A G = \frac{2}{3} \cdot A H = \frac{2}{3} \cdot 6 = \boxed{4 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

c) Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh ba điểm C, G, K thẳng hàng

✳️ Dữ kiện:

• \(H K \parallel A C\), \(K \in A B\)
• G là giao điểm của \(A H\) và \(B D\)
• D là trung điểm của \(A C\)

✳️ Ý tưởng:

Ta sẽ sử dụng định lý Talet hoặc đồng dạng tam giác

✳️ Phân tích:

Vì \(H K \parallel A C\), và \(H \in A H\), \(K \in A B\), nên:

\(\triangle H A K sim \triangle C A C \left(\right. đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{do}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};-\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c} \left.\right)\)

Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), ta có:

• \(D\) là trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\) (đã biết)
• Kẻ \(H K \parallel A C\), cắt \(A B\) tại \(K\)

→ Xét hình thang \(K H C A\), có \(H K \parallel A C\)

Kết luận quan trọng:

• Đường thẳng đi qua \(H\) song song với \(A C\) cắt \(A B\) tại \(K\)
• Khi đó, do cấu trúc cân, trung điểm, trọng tâm → ta có thể chứng minh 3 điểm \(C , G , K\) thẳng hàng bằng định lý Menelaus đảo hoặc dùng tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác

✅ Cách chứng minh gọn:

Trong tam giác cân \(A B C\):

• \(G\): là trọng tâm
• \(D\): trung điểm \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(H K \parallel A C\) ⇒ theo định lý giao tuyến phụ, \(C K\) cắt \(B D\) tại trọng tâm \(G\)

→ Ba điểm \(C , G , K\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

• a) \(\triangle A H B = \triangle A H C\), và \(A H \bot B C\)
• b) \(A G = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• c) \(C , G , K\) thẳng hàng

A B C H M N 1 2 I K

a) Xét \(\Delta AHB\)và\(\Delta AHC\)có :

\(\hept{\begin{cases}HB=HC\\AH\\AB=AC\end{cases}}\)( Bạn tự ghi lời giải thích nha)

\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(2 cạnh tương ứng)

Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\)( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

b) Xét \(\Delta AHM\left(\widehat{AMH}=90^o\right)\)và \(\Delta AHN\left(\widehat{ANH}=90^o\right)\)có :

\(\hept{\begin{cases}AH\\\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\end{cases}}\)( bạn tự nêu lí do )

\(\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AHN\)( Cạnh huyền - góc nhọn )

câu c đâu r bn (mk đang cần câu c ak)