b: \(\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{AC}}{2}\right|=\dfrac{5}{2}a\)

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Lời giải:

$|\overrightarrow{BC}|=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$ theo định lý Pitago.

Ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=\dfrac{4}{9}BC^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2-\dfrac{4}{9}BC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{9}BC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=\dfrac{9}{5}AC^2=\dfrac{9}{5}.\left(12a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}.12a=\dfrac{36a\sqrt[]{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\dfrac{2}{3}.\dfrac{36a\sqrt[]{5}}{5}=\dfrac{24a\sqrt[]{5}}{5}\)

ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC

=>AC=5

ΔACB vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=5^2+5^2=50\)

=>\(BC=\sqrt{50}=5\sqrt2\)

\(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=BC\cdot BA\cdot cosABC\)

\(=5\sqrt2\cdot5\cdot cos45=25\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\)

\(=25\cdot\frac22=25\)