a/ Xét hai tg vuông AIH và AHC có ^HAC chung => AIH đồng dạng AHC

b/ Ta có

2.S(ABC)=AH.BC

2.S(AHC)=AH.CH

mà CH=BC/2

=> S(ABC)=2.S(AHC) => \(\frac{AH.BC}{2}=IH.AC\) mà AC=AB nên

\(\frac{AH.BC}{2}=IH.AB\Rightarrow AH.BC=2.IH.AB\)

c/ Ta có

\(AH^2=AI.AC=16.\left(16+9\right)=16.25=4^2.5^2=\left(4.5\right)^2=400\Rightarrow AH=20\)

\(HC^2=CI.AC=9.\left(9+16\right)=3^2.5^2=\left(3.5\right)^2=15^2\Rightarrow HC=15\Rightarrow BC=2.HC=30\)

\(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{20.30}{2}=300\)

d/

a, tam giác AIH và tam giác HIC đều vuông tại I 

tam giác ABC cân tại A ; H là trung điểm của BC (gt)

=> AH _|_ BC (đl) và AH là phân giác của góc BAC

=> góc  BAH + góc ABC = 90 mà góc ABH = góc HAC

=> góc HAC + góc ABC = 90

tam giác ABC cân tại A => góc B = Góc C

có góc IHC + góc ACB = 90 

=> gócIHC + góc ABC = 90

=> góc HAC = góc IHC 

tam giác AIH và tam giác HIC đều vuông tại I 

=>t am giác AIH ~ tam giác HIC

=> HA/HC = HI/IC

=> HA.IC = HC.HI

a) Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ (cm)$.

Diện tích tam giác $ABC$ tính theo hai cách:

$\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12BC\cdot AH$

$\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}\ (cm)$.

Trong tam giác vuông $ABH$ vuông tại $I$, ta có:

$\triangle ABH \sim \triangle HBI$ nên: $AB^2=BH\cdot BC$.

Mà: $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}$.

Lại có: $BI=\dfrac{BH\cdot BA}{AH}=\dfrac{\frac95\cdot3}{\frac{12}{5}}=\dfrac94\ (cm)$.

Vậy: $\boxed{BC=5cm,\ AH=\dfrac{12}{5}cm,\ BI=\dfrac94cm}$.

b) Ta có: $HI\parallel AC$ và $HK\parallel AB$ nên tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật.

Suy ra: $IK=AH$.

Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$, mà trong tam giác vuông $ABC$:

$MA=MB=MC$.

Do đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Đường thẳng $IK$ đi qua trung điểm các hình chiếu của $H$ trên $AB,AC$, suy ra:

$IK\parallel BC$.

Mà $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác vuông nên: $AM\perp IK$.

Vậy: $\boxed{IK=AH}$ và $\boxed{AM\perp IK}$.

c) Vì $AIHK$ là hình chữ nhật nên: $AI=HK,\ AK=HI$.

Lại có trong tam giác vuông $ABC$:

$HI=\dfrac{AH\cdot AB}{AC},\qquad HK=\dfrac{AH\cdot AC}{AB}$.

Suy ra: $AB\cdot AI=AB\cdot HK=AH\cdot AC=AC\cdot HI=AC\cdot AK$.

Vậy: $\boxed{AB\cdot AI=AC\cdot AK}$.

Từ đó: $\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có: $\widehat{IAK}=\widehat{CAB}$.

Suy ra: $\triangle AIK\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

Vậy: $\boxed{\triangle AIK\sim\triangle ACB}$.

a: Xét ΔCIH vuông tại I và ΔCHA vuông tại H có

\(\hat{ICH}\) chung

Do đó: ΔCIH~ΔCHA

Bài 3: 

a: Xét ΔAIB và ΔCID có

IA=IC

góc AIB=góc CID

IB=ID

Do đó: ΔAIB=ΔCID

b: Xét tứ giác ABCD có

I là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD//BC va AD=BC

Bài 6: 

a: Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE
góc A chung

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC
SUy ra: BD=CE
b: Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC

BC chung

EC=BD

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

=>OE=OD

=>ΔOED cân tại O

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC