1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, biết $BC=a$, $AH=h$. Tính cạnh bên.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ đồng thời là trung tuyến.

Suy ra: $BH=HC=\dfrac a2$.

Xét tam giác vuông $ABH$:

$AB^2=AH^2+BH^2$$=h^2+\left(\dfrac a2\right)^2$.

Do đó: $AB=AC=\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{a^2+4h^2}}{2}$.

Vậy: $\boxed{AB=AC=\dfrac{\sqrt{a^2+4h^2}}{2}}$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B}=60^\circ$, đường cao $AH$. Chứng minh:

$\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt3$.

Ta có: $\widehat{B}=60^\circ \Rightarrow \widehat{C}=30^\circ$.

Trong tam giác vuông $ABC$ có góc $30^\circ$ nên: $AB=\dfrac12BC$.

Suy ra: $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{BC^2-\dfrac14BC^2}=\dfrac{\sqrt3}{2}BC$.

Do đó: $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}BC}{\frac12BC}=\sqrt3$.

Mặt khác, trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền:

$AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$,

$CH=\dfrac{AC^2}{BC}$.

Suy ra: $\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{\frac{AC^2}{BC}}{\frac{AB\cdot AC}{BC}}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt3$.

Vậy: $\boxed{\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt3}$.

Bài 1 

a) \(BC=125\Rightarrow BC^2=15625\)

\(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)từ đây ta có \(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{25}=\frac{BC^2}{25}=\frac{15625}{25}=625\)

\(\frac{AB^2}{9}=625\Rightarrow AB=75\)

\(\frac{AC^2}{16}=625\Rightarrow AC=100\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 

\(AB^2=BH\cdot BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{5625}{125}=45\)

\(AC^2=CH\cdot BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{10000}{125}=80\)

b.c) làm tương tự cũng áp dụng HTL trong tam giác vuông

Bài 2

Hình bạn tự vẽ

Ta có \(EH\\ AC\left(EH\perp AB;AC\perp AB\right)\Rightarrow\frac{BE}{AB}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BE=\frac{AB\cdot BH}{BC}\Rightarrow BE^2=\frac{AB^2\cdot BH^2}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow BE^2=\frac{BH\cdot BC\cdot BH^2}{BC^2}=BH^3\)

Bài 3 Đề bài này không đủ dữ kiện tính S của ABC

Cám ơn cậu nhaaaaa