a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình gì?

Vì $I$ đối xứng với $M$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $MI$.

Suy ra: $D$ là trung điểm của $MI$ và $DM\perp AB$.

Tương tự, $K$ đối xứng với $M$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $MK$.

Suy ra: $E$ là trung điểm của $MK$ và $EM\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DM\parallel AC,\quad EM\parallel AB$.

Do $A,D\in AB$ nên: $AD\parallel EM$.

Do $A,E\in AC$ nên: $AE\parallel DM$.

Vậy tứ giác $ADME$ có hai cặp cạnh đối song song nên:

$ADME$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{DAE}=90^\circ$.

Suy ra: $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình gì?

Vì $AC$ là đường trung trực của $MK$ nên:

$AC\perp MK$ và $E$ là trung điểm của $MK$.

Trong tứ giác $AMCK$:

$AC$ vừa là đường chéo, vừa là đường trung trực của đường chéo $MK$.

Lại có: $AM=AK,\quad CM=CK$.

Suy ra: $AMCK$ là hình diều.

c) Chứng minh $I$ và $K$ đối xứng nhau qua $A$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=90^\circ$.

Do $I$ đối xứng của $M$ qua $AB$ và $K$ đối xứng của $M$ qua $AC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{MAB}$,

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}$.

Suy ra: $\widehat{IAK}=180^\circ$.

Mặt khác: $AI=AM=AK$.

Do đó: $A$ là trung điểm của $IK$.

Vậy: I và K đối xứng nhau qua A.

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó: $AB=AC$.

Suy ra: $DM=EM$

Mà $ADME$ là hình chữ nhật nên có hai cạnh kề bằng nhau.

Vậy: $ADME$ là hình vuông

Đồng thời: $AM=MC$ (trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân), lại có: $AM=AK,\ MC=CK$.

Suy ra: $AM=MC=CK=KA$.

Vậy: $\boxed{AMCK \text{ là hình thoi}}$.

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a: E đối xứng M qua AB

nên AB là trung trực của ME

=>AB vuông góc với ME tại trung điểm của ME

=>AB là phân giác của góc EAM(1)

E đối xứng N qua AC

nên AC là trung trực của NE

=>AC vuông góc với NE tại trung điểm của NE

=>AC là phân giác của góc EAN(2)

Xét tứ giác AIEK có

góc AIE=góc AKE=góc KAI=90 độ

nên AIEK làhình chữ nhật

b: Từ (1), (2) suy ra góc NAM=2*90=180 độ

=>N,A,M thẳng hàng

mà AM=AN

nên A là trung điểm của MN

a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DM$.

Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.

Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $DN$.

Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.

Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.

Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.

Vậy $AEDF$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.

Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.

b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.

Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.

Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.

Vậy: $ADBM$ là hình thoi.

c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.

Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.

Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.

Suy ra: $AM=AN$.

Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.

Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.

d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.

Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.

Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.

Do đó: $DM=DN$.

Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:

$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.

Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.

Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.

Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.

Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.