a) Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

BM = CM (gt)

AM =DM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)  (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta AMB=\Delta CMD\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên AB //CD.

c) Xét tam giác AME có MH là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác AME cân tại M.

Suy ra MA = ME

Lại có MA = MD nên ME = MD.

d) Xét tam giac AED có MA = ME = MD nê tam giác AED vuông tại E.

Suy ra ED // BC

Xét tam giác cân MED có MK là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(MK\perp ED\Rightarrow MK\perp BC\)

NGU

Ta có $MB=MC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$.

Lại có $MA=MD$ và $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ nên $M$ là trung điểm của $AD$.

Suy ra trong tứ giác $ABDC$, hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:

$ABDC$ là hình bình hành.

Do đó: $CD\parallel AB$.

Mặt khác, $H$ là trung điểm của $AE$ vì $E$ thuộc tia đối của tia $HA$ và $HE=HA$.

Xét tam giác $AED$, ta có:

$H$ là trung điểm của $AE$,

$K$ là trung điểm của $ED$.

Suy ra: $HK\parallel AD$ (đường trung bình của tam giác $AED$).

Mà $A,D,M$ thẳng hàng nên: $HK\parallel AM$.

Xét tam giác $AED$, vì $H$ là trung điểm của $AE$ và $K$ là trung điểm của $ED$ nên: $HK=\dfrac12AD$.

Do $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AM=\dfrac12AD$.

Suy ra: $HK=AM$.

Lại có: $HK\parallel AM$.

Vậy tứ giác $AHKM$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên:

$AHKM$ là hình bình hành.

Suy ra: $KM\parallel AH$.

Mà: $AH\perp BC$.

Do đó: $\boxed{KM\perp BC}$.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6(cm)$.

Vậy $\boxed{AC=6cm}$.

b1) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên: $\boxed{CD\perp AC}$.

b2) Ta có: $AH\perp BC$ tại $H$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=CH\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\triangle ACE$ cân tại $C$.

b3) Từ câu b1:

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD=8cm$.

Từ câu b2: $CE=AC=6cm$.

Trong tam giác vuông $ACD$:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$$=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AD=2AM$.

Mà $AM=\dfrac{BC}{2}=5cm$ nên: $AD=10cm$.

Suy ra tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có các cạnh $6;8;10$.

Khi đó: $BD=BC+CD=10+8=18cm$ là sai (vì $B,C,D$ không thẳng hàng).

Xét tam giác $BCD$:

$BC=10,\ CD=8,\ BD=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$.

Do đó kết luận $BD=CE$ không đúng với các dữ kiện đã cho.

b4) Trong tam giác $ADE$:

$M$ là trung điểm của $AD$,

$H$ là trung điểm của $AE$.

Suy ra: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H$ đều thuộc $BC$ nên:

$MH\subset BC$.

Do đó: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{AE\perp ED}$.

a, tam giác ABC vuông tại A (gt) => BC^2 = AC^2 + AB^2 (pytago)

BC = 10; AB = 8 (Gt)

=> AC^2 = 10^2 - 8^2

=> AC^2 = 36

=> AC = 6 do AC > 0

b, xét tam giác AMB và tam giác DMC có : AM = MD (gt)

BM = MC do M là trung điểm của BC(gt)

^BMA = ^DMC (đối đỉnh)

=> tam giác AMB = tam giác DMC (c-g-c)

=> ^ABM = ^MCD mà 2 góc này slt

=> AB // CD 

AB _|_ AC

=> CD _|_ AC 

c, xét tam giác ACE có : AH _|_ AE 

AH = HE

=> tam giác ACE cân tại C 

d, xét tam giác BMD và tam giác CMA có L BM = MC

AM = MD

^BMD = ^CMA

=> tam giác BMD = tam giác CMA (c-g-c)

=> BD = AC

AC = CE do tam giác ACE cân tại C (câu c)

=> BD = CE