Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dùng hình bạn Ngọc nhé (khỏe khỏi phải vẽ :)
Xét \(\Delta BOC\)và \(\Delta NBC\)có
\(\widehat{OCB}\)chung
\(\widehat{BOC}=\widehat{NBC}=90\)
\(\Rightarrow\Delta BOC\)đồng dạng \(\Delta NBC\)
\(\Rightarrow\frac{BC}{NC}=\frac{OC}{BC}\Leftrightarrow BC^2=NC.OC\)
\(\Leftrightarrow BC^2=NC.\frac{2}{3}NC=\frac{2NC^2}{3}\)(Vì O là trọng tâm)
\(\Rightarrow NC=\sqrt{\frac{3}{2}}BC=\frac{\sqrt{3}.20132014}{\sqrt{2}}\)
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)