a: Xét ΔADE có

AL là đường phân giác

AL là đường cao

Do đó: ΔDEA cân tại A

=>AD=AE

Xét ΔBB'C có

M là trung điểm của BC

ME//B'B

Do đó: E là trung điểm của B'C

=>B'E=EC

B'B//DE

=>\(\hat{ABB^{\prime}}=\hat{ADE}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{AB^{\prime}B}=\hat{AED}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ADE}=\hat{AED}\)

nên \(\hat{AB^{\prime}B}=\hat{ABB^{\prime}}\)

=>AB=AB'

AB+BD=AD

AB'+B'E=AE

mà AB=AB' và AE=AD

nên BD=B'E

=>BD=B'E=EC

Bài 1:

a)+ Vì AB = ACNÊN

==>Tam giác ABC cân tại A

==>góc ABI = góc ACI

+ Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

               AI là cạch chung

               AB = AC(gt)

               BI = IC ( I là trung điểm của BC)

Vậy tam giác ABI = tam giác ACI (c.c.c)

==> góc BAI = góc CAI ( 2 góc tương ứng )

==>AI là tia phân giác của góc BAC

b)

Xét tam giác BAM và tam giác BAN có:

         AB = AC (gt)

        góc B = góc C (cmt)

         BM = CN ( gt )

    Vậy tam giác BAM = tam giác CAN (c.g.c)

==> AM = AN (2 cạnh tương ứng)

c)

vì tam giác BAI = tam giác CAI (cmt)

==>góc AIB = góc AIC (2 góc tương ứng) 

Mà góc AIB+ góc AIC = 180độ ( kề bù)

nên AIB=AIC=180:2=90

==>AI vuông góc với BC

C B M F N A I E O K T

b, kẻ AO // BC

góc OAK so le trong KFB 

=> góc OAK = góc KFB (tc)

xét tam giác AOK và tam giác BMK có : AK = KM (do ...)

góc AKO = góc MBK (đối đỉnh)

=> tam giác AOK = tam giác BMK (g-c-g)= 

=> AO = MB (đn)

có AO // BC mà góc EOA đồng vị EMC 

=> góc EOA = góc EMC (tc)    (1)

gọi EF cắt tia phân giác của góc BCA tại T 

EF _|_ CT (gt)

=> tam giác ETC vuông tại T và tam giác CTF vuông tại T 

=> góc CET = 90 - góc ECT và góc TMC = 90 - góc TCM 

có có TCM = góc ECT do CT là phân giác của góc ACB (gt)

=> góc CET = góc TMC   và (1)

=> góc  AEO = góc AOE 

=> tam giác AEO cân tại A (tc)

=> AE = AO mà AO = BM 

=> AE = BM

a, MB = MN (gt)

M nằm giữa N và B

=> M là trung điểm của NP (đn)

NI // AB (gt); xét tam giác ANB 

=> I là trung điểm của AN (đl)

b, 

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\hat{ABD}=\hat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

b: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH và DA=DH

Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDHC vuông tại H có

DA=DH

\(\hat{ADK}=\hat{HDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAK=ΔDHC

=>DK=DC và AK=HC

BA+AK=BK

BH+HC=BC

mà BA=BH và AK=HC

nên BK=BC

=>ΔBCK cân tại B

c: Ta có: BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của CK(1)

DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của CK(2)

MK=MC

=>M nằm trên đường trung trực của CK(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,D,M thẳng hàng