A B C M D E N P

+) Đặt N,P thứ tự là trung điểm cạnh AB,AC. Có ngay MN,MP là các đường trung bình trong \(\Delta\)ABC

Đồng thời DN vuông góc AB, EP vuông góc AC

Do đó ^DNM = ^MPE (= 90⁰ + ^BAC). Ta cũng có: DN = AB/2 = MP, NM = PE

Suy ra \(\Delta\)DNM = \(\Delta\)MPE (c.g.c). Từ đây DM = ME (1)

Ta thấy ^DME = ^NMP + ^NMD + ^PME = ^BAC + ^NMD + ^NDM = ^BAC + 180⁰ - ^BNM - 90⁰ = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)MDE vuông cân tại M (đpcm).

+) Ta dễ có \(AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB,AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AC\)(Tỉ số lượng giác)

Theo quy tắc 3 điểm thì \(DE\le AD+AE=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(AB+AC\right)\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc DE <=> ^BAC + ^BAD + ^CAE = 180⁰ => ^BAC = 90⁰.

ấy nhầm, /... vẽ các tam giác ABD, ACE tương ứng vuông cân tại ..../

Thế này mới đúng nha mọi người!

Cách số 1 

Cách số 2

, Tự vẽ hình và ghi giả thiết kết luận (mình không biết vẽ hình trên máy -_-")

Giải : Từ giả thiết ta có 

D là trung điểm của AB và MO

,E là trung điểm của AC và ON

=> ED là đường trung bình của cả hai tam giác ABC và OMN

Áp dụng định lý đường trung bình vào  tam giác trên ,ta được

\(\hept{\begin{cases}AD//BC,DE//MN\\DE=\frac{1}{2}BC,DE=\frac{1}{2}MN\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}MN//BC\\MN=BC\end{cases}}\)

Tứ giác MNCB có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành

Từ từ ,hình như mình làm nhầm đề :) Để mình làm lại đã rồi trả lời bn sau nhé!!!!!@@

a) ta có tam giác BAD vuông cân tại B

=> góc DAB= 45 độ

CMTT: => góc CAE = 45 độ

xét góc DAE = góc DAB+ góc BAC+ góc CAE= 45 độ+ 90 độ+45 độ

góc DAE= 180 độ

=> A;D;E thẳng hàng

b) kẻ tia đối của tia BD và tia CE cắt nhau tại F

xét tứ giác ABFC có:

góc BAC= góc ABF= góc ACF= 90 độ

=> tứ giác ABFC là hình chữ nhật

=> CF=AB=DB và BF= AC=CE

ta có DF=DB+BF và EF= CF+ CE

mà DB=CF và BF=CE

=> DF=EF

=> △DFE cân tại F

mà N là trung điểm DE

=> FN⊥DE và đồng thời là đường trung tuyến

xét tam giác ABC vuông tại A có:

M là trung điểm BC

=> AM=\(\frac12BC\)

xét tam giác NAF vuông tại N có:

=> \(NM=\frac12AF\)

mà tứ giác ABFC là hình vuông

=> BC=AF

từ các điều trên => AM=NM

=> △AMN cân tại M(đpcm)