a) Xét ΔAEH vuông tại E và ΔBDH vuông tại D có 

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAEH\(\sim\)ΔBDH(g-g)

a)

Ta có $CF \perp AB$ nên:
$\widehat{CFB} = 90^\circ$.

Mà tam giác $ABC$ nhọn nên:
$\widehat{ACB} = \widehat{CFB}$.

Lại có: $\widehat{CBF} = \widehat{CBA}$.

=> $\triangle ABC \sim \triangle CBF$ (g.g).

b)

Ta có $AD \perp BC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{ADH} = \widehat{CFH} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác $ADH$ và $CFH$:

$\widehat{AHD} = \widehat{CHF}$ (đối đỉnh).

=> $\triangle ADH \sim \triangle CFH$.

Do đó: $\dfrac{AH}{HD} = \dfrac{CH}{HF}$.

Nhân chéo: $AH \cdot HF = CH \cdot HD$.

=> $AH \cdot HD = CH \cdot HF$.

c)

Ta có $AD \perp BC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{BDF} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

Lại có: $\widehat{BFD} = \widehat{BCA}$.

=> $\triangle BDF \sim \triangle ABC$ (g.g).

d)

Gọi $K = DE \cap CF$.

Từ các tam giác đồng dạng ở trên suy ra các tỉ số:
$\dfrac{HF}{CF} = \dfrac{HK}{CK}$.

Nhân chéo: $HF \cdot CK = HK \cdot CF$.

( AF/FB ).(BD/DC).(CE/EA)= AF/AE.  BD/FB . CE/DC

sau đó dựa vào các tam giác AEB, BFD,DCE cùng đồng dạng với tam giác ABC

a)

Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên: $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.

Lại có: $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).

=> $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ (g.g).

Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

b)

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

c)

Gọi $I = EF \cap BC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có hệ thức quen thuộc: $IE \cdot IF = IM^2 - MB^2$.

Mà $MB = \dfrac{BC}{2}$ nên: $MB^2 = \dfrac{BC^2}{4}$.

=> $IE \cdot IF = IM^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.

d)

Gọi $N$ là trung điểm của $AH$.

Ta có $A,E,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ nên:
$N$ là tâm đường tròn đó.

=> $NE = NF$.

Do đó $N$ nằm trên đường trung trực của $EF$.

Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cố định.

=> $MN \perp EF$.

a)  Xét  \(\Delta AEB\) và   \(\Delta AFC\) có:

     \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\)

     \(\widehat{A}\)  chung

suy ra:   \(\Delta AEB~\Delta AFC\) (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\) \(\Rightarrow\)\(AF.AB=AE.AC\)

b)   \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét  \(\Delta AEF\)và   \(\Delta ABC\) có:

           \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)  (cmt)

           \(\widehat{A}\) chung

suy ra:   \(\Delta AEF~\Delta ABC\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\)   \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

c)   \(\Delta AEF~\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AB}{AE}\right)^2=\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ABC}=4S_{AEF}\)

Gửi các bạn lời giải 1 bài tương tự

https://youtu.be/mjiZSkISHgA