Xét ΔBAH có

I,L lần lượt là trung điểm của BA,BH

=>IL là đường trung bình của ΔBAH

=>IL//AH và \(IL=\frac{AH}{2}\)

Xét ΔCAH có

J,K lần lượt là trung điểm của CA,CH

=>JK là đường trung bình của ΔAHC

=>JK//AH và \(JK=\frac{AH}{2}\)

Xét ΔABC có

I,J lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>IJ là đường trung bình của ΔABC

=>JI//BC

mà BC⊥AH

nên JI⊥AH

Ta có; IL//AH

KJ//AH

Do đó: IL=KJ

Ta có: \(IL=\frac{AH}{2}\)

\(KJ=\frac{AH}{2}\)

Do đó: IL=KJ

Ta có: IL//AH

AH⊥IJ

Do đó: IL⊥IJ

Xét tứ giác IJKL có

IL//KJ

IL=KJ

Do đó: IJKL là hình bình hành

Hình bình hành IJKL có IL⊥IJ

nên IJKL là hình chữ nhật

=>I,J,K,L cùng thuộc đường tròn có hai đường kính là IK và JL(1)

ΔIFK vuông tại F

=>F nằm trên đường tròn đường kính IK(2)

Ta có: ΔLEJ vuông tại E

=>E nằm trên đường tròn đường kính LJ(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra I,J,K,L,F,E cùng thuộc một đường tròn

a, Chứng minh IFEK là hình bình hành có tâm O. Chứng minh IK ⊥ KE => IFEKlà hình chữ nhật => I,F,E,K cùng thuộc (O;OI)

b, Ta có:  I D E ^   =   90 0 => Tam giác IDE vuông tại D 

Chứng minh rằng KD ⊥ DF => ∆ KDF vuông

A B C D F E K H G O M

Bài toán thiếu dữ kiện là điểm O. (Có khả năng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Bạn xem lại đề bài có phải thế không?

a/ Nối B với O cắt đường tròng tại K ta có

\(\widehat{BCK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CK\perp BC\)

\(AH\perp BC\) (AH là đường cao của tg ABC)

=> AH//CK (cùng vuông góc với BC) (1)

Ta có

\(\widehat{BAK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AK\perp AB\)

\(CH\perp AB\) (CH là đường cao của tg ABC)

=> AK//CH (cùng vuông góc với AB) (2)

Từ (1) và (2) => AKCH là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một thì tứ giác đó là hbh)

=> AH=CK (Trong 1 hbh các cặp cạnh đối bàng nhau từng đôi một)

Xét \(\Delta BCK\) có

OB=OK; BM=CM => OM là đường trung bình của tg BCK \(\Rightarrow OM=\frac{1}{2}CK\) mà \(AH=CK\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH\left(dpcm\right)\)

b/

Do OM là đường trung bình của tg BCK nên OM//CK mà CK//AH => OM//AH

Gọi G' là giao của AM với HO. Xét tg AHG' và tg MOG' có

\(\widehat{HAG'}=\widehat{OMG'}\) (góc so le trong)

\(\widehat{AG'H}=\widehat{MG'O}\) (góc đối đỉnh)

=> tg AHG' đồng dạng với tg MOG' \(\Rightarrow\frac{MG'}{AG'}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)

G' thuộc trung tuyến AM của tg ABC => G' là trọng tâm của tg ABC => G' trùng G => H,G,O nằm trên 1 đường thẳng (dpcm)