Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{C}=180^0-120^0-30^0=30^0\)

=>\(\hat{B}=\hat{C}\left(=30^0\right)\)

=>ΔABC cân tại A

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(\frac12\cdot AB\cdot AB\cdot\sin120=9\sqrt3\)

=>\(\frac12\cdot AB^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\sqrt3\)

=>\(AB^2=9\sqrt3:\frac{\sqrt3}{4}=9\cdot4=36\)

=>AB=6

=>AB=AC=6

Xét ΔABC có \(\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\)

=>\(\frac{BC}{sin120}=\frac{6}{\sin30}=6:\frac12=12\)

=>\(BC=12\cdot\sin120=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\)

a: Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{3^2+7^2-8^2}{2\cdot3\cdot7}=\frac{9+49-64}{2\cdot3\cdot7}=\frac{-6}{6\cdot7}=-\frac17\)

=>\(\sin A=\sqrt{1-\left(-\frac17\right)^2}=\frac{4\sqrt3}{7}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\)

\(=\frac12\cdot3\cdot7\cdot4\sqrt3=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3\)

b: Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin A}=2R\)

=>\(2R=8:\frac{4\sqrt3}{7}=8\cdot\frac{7}{4\sqrt3}=\frac{7\cdot2}{\sqrt3}=\frac{14}{\sqrt3}\)

=>\(R=\frac{7}{\sqrt3}\)

c: Độ dài đường cao AH là:

\(AH=\frac{2\cdot S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot6\sqrt3}{8}=\frac{3\sqrt3}{2}\)

Nhận xét: Tam giác ABC có a2 + b2 = c2 nên vuông tại C.

+ Diện tích tam giác: S = 1/2.a.b = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)

+ Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r ⇒ r = S/p.

Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.

+ Đường trung tuyến ma:

ma2 = (2.(b2 + c2) – a2) / 4 = 292 ⇒ ma = √292.

a) Do tam giác ABC là tam giác đều nên  .

Theo định lý côsin trong tam giác ABM ta có:

b) Theo định lý sin trong tam giác ABM ta có:

c) Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 - 2 = 4 cm.

Gọi D là trung điểm AM.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:

a) Áp dụng định lí cosin, ta có:

 \(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {120^ \circ } = 129\\ \Rightarrow a = \sqrt {129} \end{array}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sqrt {129} }}{{\sin {{120}^ \circ }}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin B = \frac{{8.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt {129} }} \approx 0,61\\\sin C = \frac{{5.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt {129} }} \approx 0,38\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx 37,{59^ \circ }\\\widehat C \approx 22,{41^ \circ }\end{array} \right.\end{array}\)

b) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.8.5.\sin {120^ \circ } = 10\sqrt 3 \)

c) 

+) Theo định lí sin, ta có: \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin {{120}^ \circ }}} = \sqrt {43} \)

+) Đường cao AH của tam giác bằng: \(AH = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{{\sqrt {129} }} = \frac{{20\sqrt {43} }}{{43}}\)