a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

c:

Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

mà OA⊥ Ax

nên OA⊥EF

a: góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

b: BFEC nội tiếp

=>góc IBF=góc IEC

Xét ΔIBF và ΔIEC có

góc IBF=góc IEC

góc I chung

=>ΔIBF đồng dạng với ΔIEC

=>IB/IE=IF/IC

=>IB*IC=IE*IF

Bạn có bị down ko

Hình vẽ:

Lời giải:

a)

$BE\perp AC, CF\perp AB$ nên $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{BFE}+\widehat{ECB}=180^0$

$\Leftrightarrow 180^0-\widehat{AFE}+\widehat{ACB}=180^0$

$\Leftrightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (đpcm)

b)

Qua $A$ kẻ tiếp tuyến $Ax$ thì $Ax\perp OA(1)$

Ta thấy: $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó)

Mà theo phần $a$ thì $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

$\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel FE(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AO\perp EF$ (đpcm)

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: BFEC nội tiếp

=>\(\hat{FEB}=\hat{FCB}\)

mà \(\hat{FCB}=\hat{QCB}\)

và \(\hat{QCB}=\hat{QPB}\) (hai góc nội tiếp chắn cung QB)

nên \(\hat{FEB}=\hat{QPB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên FE//PQ

c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>Ax//PQ

Ax//PQ

OA⊥ Ax

Do đó: OA⊥PQ

d: Xét ΔABC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}=-\frac12\)

=>\(\hat{BOC}=120^0\)

Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=60^0\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EAF}+\hat{EHF}=180^0\)

=>\(\hat{EHF}=180^0-60^0=120^0\)

Xét ΔAEB vuông tại E có cos EAB=AE/AB

=>\(\frac{AE}{AB}=cos60=\frac12\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\) (cmt)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac12\)

=>\(EF=\frac{BC}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}\)

Xét ΔHEF có \(\frac{EF}{\sin EHF}=2R_1\)

=>\(2R_1=\frac{R\sqrt3}{2}:\sin120=R\)

=>\(R_1=\frac{R}{2}\)

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA
nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của BC và HK

a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABE vuông tại E và ΔHCE vuông tại E có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{HCE}\)

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔHCE

Suy ra: AB/HC=BE/CE

hay \(AB\cdot CE=BE\cdot HC\)