Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
b: BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
=>góc AFE=góc ACB
c: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>góc xAC=góc ABC=góc AEF
=>Ax//FE
=>FE vuông góc AO
a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)
mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)
c:
Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)
nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
mà OA⊥ Ax
nên OA⊥EF
a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔABE vuông tại E và ΔHCE vuông tại E có
\(\widehat{ABE}=\widehat{HCE}\)
Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔHCE
Suy ra: AB/HC=BE/CE
hay \(AB\cdot CE=BE\cdot HC\)
B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)
=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)
b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)
=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
c,gọi M là giao điểm của AI và EF
ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)
do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA
hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)
mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong một tam giác)
=> ACB + góc ABC = 90o (3)
từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o
=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)
hay AI uông góc với EF (đpcm)
a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: BFEC nội tiếp
=>\(\hat{FEB}=\hat{FCB}\)
mà \(\hat{FCB}=\hat{QCB}\)
và \(\hat{QCB}=\hat{QPB}\) (hai góc nội tiếp chắn cung QB)
nên \(\hat{FEB}=\hat{QPB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên FE//PQ
c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)
nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
=>Ax//PQ
Ax//PQ
OA⊥ Ax
Do đó: OA⊥PQ
d: Xét ΔABC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}=-\frac12\)
=>\(\hat{BOC}=120^0\)
Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
=>\(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=60^0\)
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EAF}+\hat{EHF}=180^0\)
=>\(\hat{EHF}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔAEB vuông tại E có cos EAB=AE/AB
=>\(\frac{AE}{AB}=cos60=\frac12\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\) (cmt)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac12\)
=>\(EF=\frac{BC}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}\)
Xét ΔHEF có \(\frac{EF}{\sin EHF}=2R_1\)
=>\(2R_1=\frac{R\sqrt3}{2}:\sin120=R\)
=>\(R_1=\frac{R}{2}\)
a: góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
b: BFEC nội tiếp
=>góc IBF=góc IEC
Xét ΔIBF và ΔIEC có
góc IBF=góc IEC
góc I chung
=>ΔIBF đồng dạng với ΔIEC
=>IB/IE=IF/IC
=>IB*IC=IE*IF
Hình vẽ:
Lời giải:
a)
$BE\perp AC, CF\perp AB$ nên $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên tứ giác $BFEC$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{BFE}+\widehat{ECB}=180^0$
$\Leftrightarrow 180^0-\widehat{AFE}+\widehat{ACB}=180^0$
$\Leftrightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (đpcm)
b)
Qua $A$ kẻ tiếp tuyến $Ax$ thì $Ax\perp OA(1)$
Ta thấy: $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó)
Mà theo phần $a$ thì $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$
$\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel FE(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow AO\perp EF$ (đpcm)