Câu hỏi của Hoàng Vân Anh

Question

Cho số thực dương a, b, c chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)$\ge$8abc

Đinh Đức Hùng · Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 số dương a;b;c ta có :

$a+b\ge2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$ )

$b+c\ge2\sqrt{bc}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ )

$c+a\ge2\sqrt{ca}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=c$ )

$\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}$

$\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Câu trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 số dương a;b;c ta có :

$a+b\ge2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$ )

$b+c\ge2\sqrt{bc}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ )

$c+a\ge2\sqrt{ca}$ (dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=c$ )

$\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}$

$\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$