2.a) Vào question 126036

b) Vào question 68660

hãy nhìn kĩ hihi

vì mỗi p/số của M đều bé hơn 1,áp dụng quy tắc thứ 7 để so sánh có

1/2<1+1/2+1=2/3(xảy ra khi p/số<1 như trên)

3/4<3+1/4+1=4/5

.......

99/100<99+1/100+1=100/101

tích chúng sẽ bé hơn

2/3.4/5.6/7......100/101=N

Vậy M<N

M.N=1/2.2/3.3/4.......99/100.100/101

tử và mẫu xuất hiện số đối nhau,khử đi còn

M.N=1/101

Dựa vào câu a,b có

M.M<M.N(vì N>M)

M.M<1/101

dpcm là M<1/10

M.M<1/10.1/10=1/100

mà M^2<1/101<1/100=1/10^2

=>M<1/10

hơi vắt óc nên xin olm tích cho nha

chúc học tốt

dễ thấy S có 30 số hạng

Để chứng minh \(\frac{3}{5}\)< S < \(\frac{4}{5}\), ta chia S thành 3 nhóm, mỗi nhóm 10 số hạng

S = \(\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right)\)

S < \(\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)\)

S < \(\frac{10}{30}+\frac{10}{40}+\frac{10}{50}=\frac{47}{60}< \frac{48}{60}=\frac{4}{5}\)( 2 )

S > \(\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)\)

S > \(\frac{10}{40}+\frac{10}{50}+\frac{10}{60}=\frac{37}{60}>\frac{36}{60}=\frac{3}{5}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{3}{5}< S< \frac{4}{5}\)

\(S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{60}=\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}>\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}>\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\)

\(\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{37}{60}>\frac{36}{60}=\frac{3}{5}\)(1)

Lại có: \(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}< \frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}< \frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{47}{60}< \frac{48}{60}=\frac{4}{5}\)(2)
Từ (1) và (2) => đpcm

Đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)

​\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)​

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)

Vậy \(A< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)