S = 7^2013 - 7^2012 + 7^2011 - 7^2010+...- 7^2 + 7^1

Xét dãy số: 1; 2; ...; 2010; 2011; 2012; 2013

Dãy số trên có số số hạng là: (2013 - 1) : 1 + 1 = 2013

Vì 2013 : 2 = 1006 dư 1 nên nhóm hai hạng tử liền kề của S vào nhau khi đó:

S = (7^2013 - 7^2012) + ..+(7^3 - 7^2) + 7^1

S = 7^2012.(7 - 1) + ... +7^2.(7 - 1) + 7^1

S = 7^2012. 6 +...+=7^2.6 + 7^1

S = 6.(7^2012 +...+7^2) + 7

Vì 6 chia hết cho 3 nhưng 7 không chia hết cho 3 nên

S không chia hết cho 3

Vậy việc chứng minh S chia hết cho 3 là không thể.

S = 7^2013 - 7^2012 + 7^2011 - 7^2010+...- 7^2 + 7^1

Xét dãy số: 1; 2; ...; 2010; 2011; 2012; 2013

Dãy số trên có số số hạng là: (2013 - 1) : 1 + 1 = 2013

Vì 2013 : 2 = 1006 dư 1 nên nhóm hai hạng tử liền kề của S vào nhau khi đó:

S = (7^2013 - 7^2012) + ..+(7^3 - 7^2) + 7^1

S = 7^2012.(7 - 1) + ... +7^2.(7 - 1) + 7^1

S = 7^2012. 6 +...+=7^2.6 + 7^1

S = 6.(7^2012 +...+7^2) + 7

Vì 6 chia hết cho 3 nhưng 7 không chia hết cho 3 nên

S không chia hết cho 3

Vậy việc chứng minh S chia hết cho 3 là không thể.

S = 7²⁰¹³ -  7²⁰¹² + 7²⁰¹¹ - 7²⁰¹⁰ + ........ + 7³- 7² + 7 - 1 

     = (7²⁰¹³ -  7²⁰¹²) + (7²⁰¹¹ - 7²⁰¹⁰) + ........ + (7³- 7²) + (7 - 1)

     = 7²⁰¹²(7 - 1) + 7²⁰¹⁰(7 - 1) + ... + 7²(7 - 1) + (7 - 1)

     =  7²⁰¹².6+ 7²⁰¹⁰.6 + ... + 7².6+ 6 

     = 6(7²⁰¹² + 7²⁰¹⁰ + .... + 7²) \(⋮\)6 

=> S  \(⋮\)6

thanks Xyz

Gọi tổng trên là T (tượng trưng cho tth :v)

Ta có: \(T=\left(7^0+7^1\right)+\left(7^2+7^3\right)+...+\left(7^{2011}+7^{2012}\right)\)

\(=1\left(7^0+7^1\right)+7^2\left(7^0+7^1\right)+...+7^{2011}\left(7^0+7^1\right)\)

\(=8\left(1+7^2+...+7^{2011}\right)⋮8^{\left(đpcm\right)}\) 

7²⁰¹⁰ thôi nhé chứ ko phải 7²⁰¹² đâu sorry

Bài toán này rất khó, dành cho học sinh giỏi

Gợi ý : Ghép 2 số liền nhau thành một cặp rồi đặt thừa số chung ra ngoài .