\(S=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{99}\)

\(S=3^0+3^1+3^2+3^4+...+3^{99}\)

\(\Rightarrow S=3^0.\left(1+3+9+27\right)+...+3^{96}.\left(1+3+9+27\right)\)

\(\Rightarrow S=3^0.40+...+3^{96}.40\)

\(\Rightarrow S=\left(3^0+...+3^{96}\right).40⋮40\)

\(\Rightarrowđpcm\)

S=1+3+3²+...+3⁹⁹

=(1+3+3²+3³)+.....+(3⁹⁶+3⁹⁷+3⁹⁸+3⁹⁹)

=1*(1+3+3²+3³)+....+3⁹⁶*(1+3+3²+3³)

=1*(1+3+9+27)+...+3⁹⁶*(1+3+9+27)

=1*40+....+3⁹⁶*40

=40*(1+...+3⁹⁶) chia hết 40

Đpcm

S = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99

S = (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + ... + (3^96 - 3^97 + 3^98 - 3^99 )

S = (-20) + (-20) +...+ (-20)   (24 số -20)

S = (-20).24 chia hết cho -20

=> đpcm

Câu hỏi của Nguyễn Dương - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo.

a, \(S=3^0+3^2+3^4+...+3^{2002}\)

\(3^2S=3^2+3^4+3^6+...+3^{2004}\)

\(8S=3^{2004}-1\) 

\(S=\frac{3^{2004}-1}{8}\)

S=3⁰+3²+3⁴+3⁶+...+3²⁰⁰²

S=(3⁰+3²+3⁴)+(3⁶+3⁸+3¹⁰)+...(3¹⁹⁸⁸+3²⁰⁰⁰+3²⁰⁰²)

S=91.1+3⁶.(3⁰+3²+3⁴)+...+3¹⁹⁸⁸.(3⁰+3²+3⁴)

S=91.1+3⁶.91+...+3¹⁹⁸⁸.91

S=91.(1+3⁶+..+3¹⁹⁸⁸)

S=7.13.(1+3⁶+..+3¹⁹⁸⁸)

=>S chia hết cho 7

4,Tìm a, b ∈N, biết:

a,10^a+168=b²

b,100^a+63=b²

c,2^a+124=5^b

d,2^a+80=3^b

 Giải:

a) xét \(a=0\)

\(\Rightarrow10^a+168=1+168=169=13^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=13\end{cases}}\)

xét \(a\ne0\)

=>10a có tận cùng bằng 0

Mà 10a+168 có tận cùng bằng 8 không phải số chính phương ( các số chính phương chỉ có thể tận cùng là:0;1;4;5;6;9  )

=>không có b

vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=13\end{cases}}\)

b)Chứng minh tương tự câu a)

c) \(5^b\)là số lẻ với b là số tự nhiên và tận cùng là 5

\(\Rightarrow2^a+124\)cũng là số lẻ và tận cùng là 5

Mà \(2^a+124\) là số lẻ khi và chỉ khi a=0

ta có :

2^0 + 124 = 5^b

=> 125 = 5^b

=> 5^3 = 5^b

=> b = 3

Vậy a = 0 ; b =3

d)Chứng minh tương tự như 2 câu mẫu trên

3,Cho B=3⁴ⁿ⁺³+2013

Chứng minh rằng B⋮10 với mọi n∈N

Giải:

Ta có : 

3⁴ⁿ⁺³+2013

=(3⁴)ⁿ+27+2013

=81ⁿ+2040

Phần sau dễ rồi ,mk nghĩ bạn có thể giải đc

a) \(S=3^0+3^2+3^4+3^6+...+3^{2002}\)

\(\Rightarrow S=1+3^2+3^4+...+3^{2002}\)

\(\Rightarrow9S=3^2+3^4+3^6+...+3^{2004}\)

\(\Rightarrow9S-S=\left(3^2+3^4+3^6+...+3^{2004}\right)-\left(1+3^2+3^4+...+3^{2002}\right)\)

\(\Rightarrow8S=3^{2004}-1\)

\(\Rightarrow S=\frac{3^{2004}-1}{8}\)

b) \(S=3^0+3^2+3^4+3^6+...+3^{2002}\)

\(\Rightarrow S=\left(3^0+3^2+3^4\right)+\left(3^6+3^8+3^{10}\right)+...+\left(3^{2000}+3^{2001}+3^{2002}\right)\)

\(\Rightarrow S=\left(1+9+81\right)+3^6.\left(1+3^2+3^4\right)+...+3^{2000}.\left(1+3^2+3^4\right)\)

\(\Rightarrow S=91+3^6.91+...+3^{2000}.91\)

\(\Rightarrow S=\left(1+3^6+...+3^{2000}\right).91⋮7\)

\(\Rightarrow S⋮7\)

b) Câu này mình có cách khác:

Ta có S là số nguyên nên phải chứng minh \(3^{2004}-1\) chia hết cho 7
Ta có: \(3^{2004}-1=\left(3^6\right)^{334}-1=\left(3^6-1\right).M=728.M=7.104.M\)
\(\Rightarrow3^{2004}\) chia hết cho 7. Mặt khác \(\left(7;8\right)=1\) nên S chia hết cho 7

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-6/chung-minh-s-1-2-2-2-2-3-2-4-2-5-2-6-2-7-chia-het-cho-3-faq250754.html

S= \(1+2+2^2+...+2^7\)

2S= \(2\cdot\left(2+2^2+...+2^7\right)\)

2S= \(2^1+2^2+...2^8\)

1S= 2S - S = \(\left(2^1+2^2+...2^8\right)-\left(1+2+2^2+...+2^7\right)\)

1S= \(2^1+2^2+...+2^8-1-2-2^2-...-2^7\)

1S= \(2^8-1\)

1S= \(256-1\)

1S= 255

=> 1S chia hết cho 3

Mà 1S= S

=> S chia hết cho 3

Vậy S chia hết cho 3

\(\left(7a+3b\right)⋮23\Leftrightarrow17\left(7a+3b\right)⋮23\)(vì \(\left(17,23\right)=1\))

\(\Leftrightarrow\left(119a+51b\right)⋮23\Leftrightarrow\left(119a-5.23a+51-2.23b\right)⋮23\)

\(\Leftrightarrow\left(4a+5b\right)⋮23\)

Do ta biến đổi tương đương nên điều ngược lại cũng đúng. 

\(S=3+3^2+3^3+...+3^{1998}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{1997}+3^{1998}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{1997}\left(1+3\right)\)

\(=4\left(3+3^3+...+3^{1997}\right)⋮2\)

\(S=3+3^2+3^3+...+3^{1998}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{1996}+3^{1997}+3^{1998}\right)\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{1996}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=13\left(3+3^4+...+3^{1996}\right)⋮13\).

Mà \(\left(2,13\right)=1\)nên \(S\)chia hết cho \(2.13=26\).