Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{\left(m+1\right)x^2+\left(4m+2\right)x+4m+4}{mx^2+2\left(m+1\right)x+m}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2mx+3m+4}{mx^2+2\left(m+1\right)x+m}\le0\)
Để tập nghiệm của BPT đã cho là R
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2mx+3m+4\ge0\\mx^2+2\left(m+1\right)x+m< 0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=m^2-3m-4\le0\\m< 0\\\Delta'_2=\left(m+1\right)^2-m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le m\le4\\m< 0\\2m+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1\le m< -\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-4\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)
\(f\left(x\right)=\left(2x-m\right)^2-2m\)
- TH1: \(\frac{m}{2}\in\left[0;2\right]\Rightarrow0\le m\le4\)
Khi đó \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{m}{2}\right)=-2m=3\Rightarrow m=-\frac{3}{2}\left(ktm\right)\)
- TH2: \(\frac{m}{2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(0\right)=m^2-2m=3\)
\(\Rightarrow m^2-2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=3>0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
TH3: \(\frac{m}{2}>2\Leftrightarrow m>4\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(2\right)=16-8m+m^2-2m=3\)
\(\Leftrightarrow m^2-10m+13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{3}\\m=5-2\sqrt{3}< 4\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sum m=-1+5+2\sqrt{3}=\)
Do \(x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0;\forall x\) nên BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:
\(x^2-\left(3m+2\right)x+4>0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta=\left(3m+2\right)^2-16< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow9m^2+12m-12< 0\)
\(\Rightarrow-2< m< \dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;0\right\}\) có 2 giá trị
\(x\left(x-m^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge m^2+1\end{matrix}\right.\)
Để S và tập (5;10) có phần tử chung
\(\Leftrightarrow m^2+1< 10\)
\(\Rightarrow-3< m< 3\)
1.
Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn
Nếu \(x\ne0\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
\(x^3+\left(2m+5\right)x^2+2\left(m+3\right)x-4m-12=0\) (1)
=>\(x^3-x^2+\left(2m+6\right)x^2-\left(2m+6\right)x+\left(4m+12\right)x-4m-12=0\)
=>(x-1)\(\left\lbrack x^2+\left(2m+6\right)x-4m-12\right\rbrack=0\)
=>x=1 hoặc \(x^2+\left(2m+6\right)x-4m-12=0\)
Đặt \(g\left(x\right)=x^2+\left(2m+6\right)x-4m-12\)
Để (1) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn -1 thì g(x) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 và g(1)<>0
g(1)<>0
=>\(1+2m+6-4m-12\) <>0
=>-2m-5<>0
=>-2m<>5
=>m<>-5/2
Đặt y=x+1
=>x=y-1
x>-1
=>y-1>-1
=>y>0
Thay x=y-1 vào g(x)=0, ta được:
\((y - 1)^2 + (2m + 6)(y - 1) + 4m + 12 = 0\)
\(\iff y^2+(2m+4)y+2m+7=0\quad(2)\)
Theo Vi-et, ta có: \(y_1+y_2=-\frac{b}{a}=-2m-4;y_1y_2=\frac{c}{a}=2m+7\)
Để (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 thì (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0
=>-2m-4>0 và 2m+7>0
=>2m+4<0 và 2m+7>0
=>-7/2<m<-2
mà m<>-19/6
nên m∈(-7/2;-2)\{-19/6}
=>a=-7/2; b=-2; c=-19/6
T=2a-3b+6c
=2*(-7/2)-3*(-2)+6*(-19/6)
=-7+6-19
=-1-19
=-20
\(x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\)
Đặt \(t=x+\frac{1}{x}\)
Với x>0 thì \(t=x+\frac{1}{x}>=2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)
Với x<0 thì \(-t=\left(-x\right)+\left(-\frac{1}{x}\right)\ge2\cdot\sqrt{\left(-x\right)\cdot\frac{1}{-x}}=2\)
=>t<=-2
=>|t|>=2
Phương trình ban đầu sẽ trở thành:
\(2(t^2-2)-3t-2m-1=0\)
=>\(2t^2-4-3t-2m-1=0\)
=>\(2m=2t^2-3t-5\)
=>\(m=t^2-1,5t-2,5\) (1)
Để Phương trình ban đầu có nghiệm thì (1) có nghiệm t∈(-∞;-2]\(\cup\) [2;+∞)
Đặt \(f(t) = \dfrac{2t^2 - 3t - 5}{2}\)
Xét hàm số f(t) trên tập D=(-∞;-2]\(\cup\) [2;+∞)
Đỉnh của f(t) là \(t_0=\frac34\) ∉D
t=-2
=>\(f(-2)=(-2)^2-\dfrac{3}{2}(-2)-\dfrac{5}{2}=4+3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\)
t=2
=>\(f(2)=2^2-\dfrac{3}{2}(2)-\dfrac{5}{2}=4-3-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
Khi t->+∞ thì f(t)->+∞
Khi t->-∞ thì f(t)->-∞
Trên khoảng (-∞;-2], hàm số giảm từ +∞ xuống f(-2)=9/2
=>f(t)∈[9/2;+∞)
Trên khoảng [2;+∞), hàm số tăng từ f(2)=-1/2 lên +∞
=>f(t)∈[-1/2;+∞)
=>Tập giá trị của f(t) trên D là tập hợp sau:
\(\left[-\dfrac{1}{2}; +\infty\right) \cup \left[\dfrac{9}{2}; +\infty\right) = \left[-\dfrac{1}{2}; +\infty\right)\)
=>Phương trình m=f(t) có nghiệm khi m>=-1/2
=>b/a=1/2
=>b=1; a=2
a+b=2+1=3
=>x^2-[(m-1)+(m-5)]x+m^2-6m+5<=0
=>x(x-m+1)-(m-5)(x-m+1)<=0
=>(x-m+1)(x-m+5)<=0
=>m-5<=x<=m-1
=>S=[m-5;m-1]
(3;5) là tập con của S
=>m-5>=3 và m-1<=5
=>m>=8 và m<=6
=>Loại