2.1

a) Áp dụng định lý Bezout:

\(P\left(x\right)⋮2x+3\)

\(\Rightarrow P\left(\frac{-3}{2}\right)=0\)

hay \(6.\frac{-27}{8}-7.\frac{9}{4}-16.\frac{-3}{2}+m=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-81}{4}-\frac{63}{4}+24+m=0\)

\(\Rightarrow m=12\)

Vậy m = 12 

Bài 1:
Ta có:

\(2x^2+4x^3-7=4x^2(x-3)+14x(x-3)+42(x-3)+119\)

\(=(x-3)(4x^2+14x+42)+119\)

Do đó phép chia $2x^2+4x^3-7$ cho $x-3$ có thương là $4x^2+14x+42$ và dư là $119$

Bài 2:

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức thì phép chia đa thức $f(x)$ cho $x-a$ có dư là $f(a)$

Áp dụng vào bài toán:

\(f(2)=-23\)

\(\Leftrightarrow 2^3-4.2^2+5.2+a=-23\)

\(\Leftrightarrow 2+a=-23\Rightarrow a=-25\)

Bài 3:

Ta có:

\(x^3+ax+b=x(x^2+2x+1)-2x^2-x+ax+b\)

\(=x(x^2+2x+1)-2(x^2+2x+1)+3x+2+ax+b\)

\(=(x-2)(x+1)^2+x(a+3)+(b+2)\)

Vậy $x^3+ax+b$ khi chia $(x+1)^2$ có dư là $x(a+3)+(b+2)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+3=2\\ b+2=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=-1; b=-1\)

Bài 4:

\(x^2+y^2-4y+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(y^2-4y+4)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(y-2)^2+1=0\)

\(\Rightarrow x^2+(y-2)^2=-1\)

Rõ ràng vế trái luôn không âm, mà vế phải âm nên vô lý

Vậy pt vô nghiệm, không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

c)

Gọi đa thức \(ax^3+bx^2+c\) là \(f\left(x\right)\).

Theo bài ra \(f\left(x\right)⋮x+2\) , ta có phương trình:

\(f\left(-2\right)=-8a+4b+c=0\)(1)

Gọi \(Q\left(x\right)\) là thương của đa thức \(f\left(x\right)\) khi chia \(x^2-1\) được dư là \(x+5\). Ta có:

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+x+5\)(*)

Nghiệm của \(x^2-1\) là \(1\) và \(-1\). Thay nghiệm x=1 và x=-1 vào (*), ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a.\left(-1\right)^3+b\left(-1\right)^2+c=0.Q\left(x\right)+\left(-1\right)+5=4\\a.1^3+b.1^2+c=0.Q\left(x\right)+1+5=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b+c=4\left(2\right)\\a+b+c=6\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1), (2) và (3), ta có HPT:

\(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)

Giải HPT ta được:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)

Vậy a=1;b=1 và c=4

b)

Gọi đa thức \(x^3+ax+b\) là \(f\left(x\right)\)

Gọi \(P\left(x\right)\) là thương khi chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(x+1\) được dư 7.

Gọi \(Q\left(x\right)\) là thương khi chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(x-3\) dư -5.

Theo bài ra ta có PT:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+ax+b=\left(x+1\right).P\left(x\right)+7\\x^3+ax+b=\left(x-3\right).Q\left(x\right)+\left(-5\right)\end{matrix}\right.\)(*)

Nghiệm của x+1 là -1 và nghiệm của x-3 là 3. Thay nghiệm x=-1 và x=3 vào (*) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)+b=0.P\left(x\right)+7=7\\3^3+a3+b=0.Q\left(x\right)-5=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1-a+b=-7\\27+3a+b=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=8\\3a+b=-32\end{matrix}\right.\)

Giải HPT ta được:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-10\\b=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy a=-10, b=-2