\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m\right)=1>0;\forall m\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\)

Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(-2< x_1< x_2< 4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)>0\\f\left(4\right)>0\\-2< \frac{x_1+x_2}{2}< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+m+2\left(2m+1\right)+4>0\\m^2+m-4\left(2m+1\right)+16>0\\-4< 2m+1< 8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+5m+6>0\\m^2-7m+12>0\\-\frac{5}{2}< m< \frac{7}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-2< m< 3\)

Ta có \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(m+8\right)>0\)

<=> \(m^2-28>0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m>\sqrt{28}\\m< -\sqrt{28}\end{cases}}\)

Áp dụng hệ thức vi-et ta có

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=m+8\end{cases}}\)

=> \(x_1+x_2-x_1x_2+6=0\)

Mà \(x_1^3=x_2\)

=> \(x_1^3+x_1-x_1^4+6=0\)

<=> \(\)\(x_1=2\)

=> m=8(thỏa mãn ĐK)

Vậy m=8

bạn ơi sao suy ra đc x1=2 lun v

Lời giải:

Để PT có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:

\(\Delta'=(m+2)^2-(m^2+m+3)>0\)

\(\Leftrightarrow 3m+1>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{3}\)

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+2)\\ x_1x_2=m^2+m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=m^2+m+3=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}\neq 0, \forall m>\frac{-1}{3}\) nên $x_1,x_2\neq 0$ với mọi \(m> \frac{-1}{3}\).

Khi đó:

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=6\Rightarrow (x_1+x_2)^2=6x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow 4(m+2)^2=6(m^2+m+3)\)

\(\Leftrightarrow 2m^2-10m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\) (thỏa mãn)

\(\text{Δ}=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m+2\right)\)

\(=25-4m-8=-4m+17\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+17>0

=>-4m>-17

=>\(m< \dfrac{17}{4}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-5\right)}{1}=5\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+2}{1}=m+2\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2-x_1^2\cdot x_2^2-4\)

\(=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2-4\)

\(=5\left(m+2\right)-\left(m+2\right)^2-4\)

\(=5m+10-m^2-4m-4-4\)

\(=-m^2+m+2\)

\(=-\left(m^2-m-2\right)\)

\(=-\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}\right)\)

\(=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}< =\dfrac{9}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta=25-4\left(m+2\right)=17-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{17}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2-4\)

\(=5\left(m+2\right)-\left(m+2\right)^2-4\)

\(=-\left[\left(m+2\right)-\dfrac{5}{2}\right]^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\)

\(P_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(m+2=\dfrac{5}{2}\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta=4\left(m-2\right)^2+4m^2\)

\(A=8m^2-16m+16\)

Để pt có 2 ng₀ dương pb: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P=m^2>0\\S=2m-4>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m>2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m>2\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=36\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2-4m^2=36\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{-5}{4}\left(KTM\right)\)

Vậy ko tồn tại m.

\(a+b+c=1-\left(2m+1\right)+2m=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) ; \(x=2m\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\left|x_1^2-x_2^2\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left|4m^2-1\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2-1=35\\4m^2-1=-35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=9\\m^2=-\dfrac{17}{2}\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a) \(\Delta\)=(m-3)²-4.1.(2m-11)=m²-14m+53=(m-7)²+4\(\ge\)4.

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Từ ycđb, ta có: x₁²+x₂²=4² \(\Leftrightarrow\) (x₁+x₂)²-2x₁x₂=16 \(\Leftrightarrow\) (m-3)²-2(2m-11)=16 \(\Leftrightarrow\) m²-10m+15=0 \(\Leftrightarrow\) \(m=5\pm\sqrt{10}\).

Tks ạ!