\(x^2+mx+m+3=0\)

\(\Delta=m^2-4\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2-4m-12\)

\(=\left(m-6\right)\left(m+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge6\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-m}{2}\\x_1x_2=\frac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Từ đó ta có hệ :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-m}{2}\\x_1x_2=\frac{m+3}{2}\\2x_1+3x_2=5\end{matrix}\right.\)

Pt cuối \(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)+x_2=5\)

\(\Leftrightarrow-m+x_2=5\)

\(\Leftrightarrow x_2=m+5\)(1)

Thay lên pt đầu: \(m+5+x_1=\frac{-m}{2}\)

\(\Leftrightarrow x_1=\frac{-m}{2}-\frac{2\left(m+5\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow x_1=\frac{-m-2m-10}{2}=\frac{-3m-10}{2}\)(2)

Thay (1) và (2) vào pt giữa :

\(\left(m+5\right)\cdot\frac{-3m-10}{2}=\frac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{-13\pm\sqrt{10}}{3}\)( thỏa )

Vậy...

Is that true .-.

đúng ko v, sao dài vcl

Để PT có 2 nghiệm thì:

∆' = (m - 1)² - (m - 5) > 0

<=> m² - 3m + 6 > 0

Đúng với mọi m.

Theo vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m-5\end{cases}}\)

Theo đề ta có:

(2x₁ - 1)(2x₂ - 1) = 3

<=> 4x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) = 2

<=> 4(m - 5) - 2(2m - 2) = 2

<=> 0m = 18​

Vậy không tồn tại n thỏa mãn

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-2\right)\)

=25-8m+8

=-8m+33

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-8m+33>0

=>-8m>-33

=>\(m<\frac{33}{8}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-2\end{cases}\)

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì:

\(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1\cdot x_2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m<\frac{33}{8}\\ 5>0\left(đúng\right)\\ 2m-2>0\end{cases}\Rightarrow1

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên ta có: \(x_1^2-5\cdot x_1+2m-2=0\)

=>\(x_1^2-4\cdot x_1+2m-2=x_1\)

=>\(\sqrt{x_1^2-4x_1+2m-2}=\sqrt{x_1}\)

Ta có: \(\sqrt{x_1^2-4x_1+2m-2}+\sqrt{x_2}=3\)

=>\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3\)

=>\(x_1+x_2+2\cdot\sqrt{x_1x_2}=9\)

=>\(5+2\cdot\sqrt{2m-2}=9\)

=>\(2\cdot\sqrt{2m-2}=9-5=4\)

=>\(\sqrt{2m-2}=2\)

=>2m-2=4

=>2m=6

=>m=3(nhận)

a. Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.m^2=4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2=-8m+4>0\)

\(\Rightarrow m< \frac{1}{2}\)

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m^2\end{cases}}\)

Từ \(x_1^2+x_2^2-3.x_1.x_2+3=0\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5.x_1.x_2+3=0\)

\(\Rightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-5m^2+3=0\Rightarrow-m^2-8m+7=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=-4-\sqrt{23}\\m=-4+\sqrt{23}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy \(m=-4-\sqrt{23}\)