\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(2m-3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-2m+3\right)=4\left(m^2-4m+4\right)=4\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2;x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-3\)

\(x_1+x_2-x_1x_2\)

=2m-2-(2m-3)

=2m-2-2m+3

=1

=>Đây là biểu thức không phụ thuộc vào m

Xét m=1 phương trình trở thành \(-4x+1=0\)có nghiệm duy nhất x=-1/4

với m#1 ta có \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(m-1\right)=3m+1\)

với \(\hept{\begin{cases}m\ne1\\m>-\frac{1}{3}\end{cases}}\) pt có hai nghiệm phân biệt

với \(m=-\frac{1}{3}\) pt có nghiệm duy nhất

với \(m< -\frac{1}{3}\)pt vô nghiệm,

theo viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+1\right)}{m-1}=2+\frac{4}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m}{m-1}=1+\frac{1}{m-1}\end{cases}}\) lấy phương trình trên trừ đi 4 lần phương trình dưới ta có 

\(x_1+x_2-4x_1x_2=-2\)

ý sau, ta có \(\left|x_1-x_2\right|=\frac{2\sqrt{\Delta'}}{\left|a\right|}=\frac{2\sqrt{3m+1}}{\left|m-1\right|}>2\)

\(\frac{\Leftrightarrow4\left(3m+1\right)}{\left(m-1\right)^2}\ge4\Leftrightarrow m^2-5m\le0\Rightarrow m\in\left[0,5\right]\)

kết hợp với đk có 2 nghiệm phân biệt ở câu a , ta có \(m\in\left[0,5\right]\backslash\left\{1\right\}\)

Sửa đề: \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)

a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-m-3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)+4\left(m+3\right)\)

\(=4\left(m^2-m+4\right)=4\left(m^2-m+\frac14+\frac{15}{4}\right)=4\left(m-\frac12\right)^2+15\ge15>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>-m-3<0

=>m+3>0

=>m>-3

c: Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=-m-3\)

Để phương trình có 2 nghiệm âm thì \(\begin{cases}x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>2(m-1)<0 và -m-3>0

=>m-1<0 và -m>3

=>m<1 và m<-3

=>m<-3

d: \(x_1^2+x_2^2\ge10\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge10\)

=>\(\left(2m-2\right)^2\) -2(-m-3)>=10

=>\(4m^2-8m+4+2m+6\ge10\)

=>\(4m^2-6m\ge0\)

=>m(4m-6)>=0

=>m>=3/2 hoặc m<=0

e: \(x_1+x_2+2x_1x_2\)

=2(m-1)+2(-m-3)

=2m-2-2m-6

=-8

=>Đây là hệ thức không phụ thuộc vào m

a: Khim=0 thì (1) trở thành \(x^2-2=0\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)

Khi m=1 thì (1) trở thành \(x^2-2x=0\)

=>x=0 hoặc x=2

b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+8=4\left(m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

a. Em tự giải

b. Pt có 2 nghiệm khi \(\Delta=9-4\left(m-4\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

c.

\(x_1^3+x_2^3=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left(-3\right)^3-3.\left(-3\right).\left(m-4\right)=8\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{71}{9}\)

Lời giải:
Theo hệ thức Viet, nếu $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt $x^2-2xm-m^2-1=0$ thì:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=-m^2-1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2)^2=4m^2\\ 4x_1x_2=-4m^2-4\end{matrix}\right.\)

$\Rightarrow (x_1+x_2)^2+4x_1x_2=-4$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=-4$ 

Đây chính là biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ độc lập với $m$.

a, Khi m = 0 thì : 

pt <=> x^2+2x-3 = 0 

<=> (x-1).(x+3) = 0

<=> x-1=0 hoặc x+3=0

<=> x=1 hoặc x=-3

Tk mk nha