Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Giả sử \(\frac{a+b}{b}\) là phân số chưa tối giản thì:

Gọi ƯCLN(a + b; b) = d; d ≥ 2 khi đó:

(a + b) ⋮ d và b ⋮ d (1)

Suy ra: [a + b - b] ⋮ d

[a + (b - b)] ⋮ d

[a+ 0] ⋮ d

a ⋮ d (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: (a; b) = d (d ≥ 2)

Vậy a/b không phải là phân số tối giản (trái với đề bài)

Nên điều giả sử là sai hay phân số a/b không phải là phân số tối giản.

Bài 8:

Gọi ƯCLN(5n + 6; 8n + 7) = d

Khi đó: (5n + 6) ⋮ d và (8n + 7) ⋮ d

[40n + 48] ⋮ d và [40n + 35] ⋮ d

[40n +48 - 40n - 35] ⋮ d

[(40n - 40n) + (48 - 35)] ⋮ d

[0 + 13] ⋮ d

13 ⋮ d

d = 1; 13

phân số có thể rút gọn được cho 13.

Bài 9:

Gọi ƯCLN(18n + 3; 21n + 7) = d khi đó:

[18n + 3] ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

[126n + 21] ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 42 - 126n - 21] ⋮ d

[(126n - 126n) + (42 - 21)] ⋮ d

21 ⋮ d

d ∈ {1; 3; 7; 21}

Nếu d = 3 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 3 (vô lí)

Nếu d = 21 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 21 (vô lí)

Vậy d = 7 khi đó: (18n + 3) ⋮ 7

[21n - 18n - 3] ⋮ 7

[3n - 3] ⋮ 7

[3(n -1)] ⋮ 7

(n - 1) ⋮ 7

n = 7k + 1

Vậy để phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1

Gọi d là ƯCLN (a,a+b) và d thuộc N*

=> a+b chia hết cho d ; b chia hết cho d

=> a chia hết cho d ; b chia hết cho d 

Mà phân số a/b tối giản =>d = 1

=> ƯCLN(a,a+b)=1

=> Phân số a/a+b tối giản 

Ta có

\(\dfrac{a+b}{b}=1+\dfrac{a}{b}=1\dfrac{a}{b}\)

Vì \(\dfrac{a}{b}\)là phân số tối giản nên \(1\dfrac{a}{b}\)là phân số tối giản

Vậy\(\dfrac{a+b}{b}\)là phân số tối giản

a, Giả sử \(\frac{a+b}{b}\)không tối giản thì tử và mẫu có ước chung \(d\ne\pm1\), suy ra \((a+b)⋮d;b⋮d(1)\)

\((a+b)⋮d\)nên \(\left[(a+b)-b\right]⋮d\), do đó \(a⋮d(2)\)

Từ 1 và 2 suy ra \(\frac{a}{b}\)không tối giản . Vậy : \(\frac{a+b}{b}\)là phân số tối giản

b, Giải thích tương tự như câu a nhé :v

a)  Giả sử \(\frac{a+b}{b}\)không tối giản thì tủ và mẫu có ước chung d \(\ne\)+1 ,  -1  suy ra (a + b ) \(⋮\)d,b \(⋮\)d (1) Nên (a+b) - b \(⋮\)d , do đó a \(⋮\)d  (2)

Từ 1 và 2 ta có \(\frac{a}{b}\)không tối giản ( điều này trái với đầu bài)

Vậy \(\frac{a+b}{b}\)là phân số tối giản

b) Giải thích tương tự như câu a

rễ lắm

làm sao làm sao, gấp lắm, sắp nộp rùi