Cao nhân nào giải được bài này chưa

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(1+y^2\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\)

TT...

\(\Rightarrow Q=x+y+z+3-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{1+z^2}-\frac{x^2\left(1+z\right)}{1+x^2}\)

\(\ge6-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{2z}-\frac{x^2\left(z+1\right)}{2x}=6-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)

\(=6-\frac{3+xy+yz+xz}{2}\ge6-\frac{3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=6-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)

Vậy GTNN của Q là 3 khi x = y = z = 1

Áp dụng bđt Cô-si có \(\Sigma\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)\ge\Sigma2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}+\Sigma\frac{y+1}{4}\ge\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\)

Theo bđt Cô-si \(\Sigma x\ge3\sqrt[3]{\Pi x}=3\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

   Dấu "='' <=> x = y = z = 1

Ta có \(P=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\) \(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}=P+\frac{X+1}{4}+\frac{Y+1}{4}+\frac{Z+1}{4}\)

= \(\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\right)+\left(\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\right)\)

Do các số trong ngoặc đều dương nên áp dụng BĐT Cô - Si, ta có :

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

Tương tự suy ra \(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

Vậy P + \(\frac{x+y+z+3}{4}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+3z-3}{4}\left(1\right)\)

Ta có x, y, z > 0 nên theo BĐT Cô - Si, ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\left(2\right)\)

Từ (1), (2); ta có P \(\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta sẽ c/m: \(\frac{x}{x+1}\le\frac{9}{16}x+\frac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}-\frac{9}{16}x-\frac{1}{16}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(3x-1\right)^2}{16\left(x+1\right)}\le0\) (đúng)

Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(Q\le\frac{9}{16}\left(x+y+z\right)+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}+\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\)

Vậy Q max = ³/₄ khi x = y  =z  =¹/₃

sao lại viết thế kia

học tốt nha

1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)

mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)

=>\(x+y+z=< 3\)

ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy  schwarz)

\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:

\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)

\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:

\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh

Cái cuối 4 hay 1. Sao thì cũng được nhưng khác kết quả

Áp dụng Bđt C-S:\(P=3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z}=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

cái cuồi là 4 thì lm nhu nào