a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(m+2\right)x-2m\)

=>\(x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\)

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot1\cdot2m\)

\(=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>m-2<>0

=>m<>2

b: Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m\end{cases}\)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac52\)

=>\(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac52\)

=>\(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac52\)

=>\(\frac{\left(m+2\right)^2-2\cdot2m}{2m}=\frac52\)

=>\(m^2+4m+4-4m=\frac52\cdot2m=5m\)

=>\(m^2-5m+4=0\)

=>(m-1)(m-4)=0

=>m=1(nhận) hoặc m=4(nhận)

a:Khi m=3 thì phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

=>y=9 hoặc y=1

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=4m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+4>0

hay m>-1

Theo đề, ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=2020\)

\(\Leftrightarrow2^2+2-2\cdot\left(-m\right)=2020\)

=>2m+6=2020

=>2m=2014

hay m=1007

- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d'):

\(-x^2=mx-4\Leftrightarrow x^2+mx-4=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=m;c=-4\)

\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4.\left(1\right).\left(-4\right)=m^2+16>0\)

Vì \(\Delta>0\) nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{1}=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(-m\right)^2-2.\left(-4\right)-\left(-m\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy m=4 hay m=-3.

a: PTHDGĐ là:

x^2-(m-1)x-(m^2+1)=0

a*c=-m^2-1<0

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục Oy

b: |x1|+|x2|=2căn 2

=>x1^2+x2^2+2|x1x2|=8

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2|x1x2|=8

=>(m-1)^2-2(-m^2+1)+2|-m^2-1|=8

=>(m-1)^2+2(m^2+1)+2(m^2+1)=8

=>m^2-2m+1+4m^2+4=8

=>5m^2-2m-3=0

=>5m^2-5m+3m-3=0

=>(m-1)(5m+3)=0

=>m=1 hoặc m=-3/5

Phương trình hoành độ giao điểm: 

x² = 2x - m

<=> x² - 2x + m = 0

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta>0\)

<=> (-1)² - m > 0

<=> 1 - m > 0

<=> m < 1

Ta có: y₁ = x₁²  

          y₂ = x₂² 

y₁ + y₂ + x₁²x₂² = 6(x₁ + x₂)

<=> x₁² + x₂² + x₁²x₂² = 6(x₁ + x₂)

<=> (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + (x₁x₂)² = 6(x₁ + x₂)

Theo viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m\end{cases}}\)

<=> 2² - 2m + m² = 6.2

<=> 4 - 2m + m² = 12

<=> 4 - 2m + m² - 12 = 0

<=> m² - 2m - 8 = 0

<=> m = 4 (ktm) hoặc m = -2 (tm)

=> m = -2