Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\sin 2x}$ với $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{Z}\right\}$. Biết $F\left(0\right)=1, F\left(\mathrm{\pi }\right)=0$, tính giá trị biểu thức $P=F\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{12}\right)-F\left(\frac{11\mathrm{\pi }}{12}\right)$ 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2 khi x\ge 1\\ ax+b khi x<1\end{array}\right.$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=1$. Hãy tính giá trị của biểu thức  $P=2018a+2019b$

Gọi n là số nguyên dương sao cho $\frac{1}{{\log }_3\left(x\right)}\times \frac{1}{{\log }_{3^3}\left(x\right)}+\frac{1}{{\log }_{3^2}\left(x\right)}+.....+\frac{1}{{\log }_{3^n}\left(x\right)}=\frac{190}{{\log }_3\left(x\right)}$ đúng với mọi x dương, $x\ne 1$. Tìm giá trị của biểu thức $P=2n+3$  

Biết  $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}*)$ là giá trị của tham số thực m để cho hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1.$ Tính giá trị biểu thức $S=a^2+b^2.$

Biết $\frac{a}{b}$ (trong đó  $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}*$) là giá trị của tham số m thực để cho hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1$. Tính giá trị biểu thức  $S=a^2+b^2$

Biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3x+1}-1}{x}=\frac{a}{b}$, trong đó a, b là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức  $P=a^2+b^2.$

Cho phương trình $m\left(\sqrt{x^2-2x+2}+1\right)-x^2+2x=0$ (m là tham số). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thuộc đoạn $\left[1; 1+2\sqrt{2}\right]$  là đoạn $\left[a,b\right]$.Tính giá trị biểu thức T=2b-a.