Số nguyên tố > 3 có dạng : 3k+1 ; 3k+2 ( k ∈ N )

Ta xét trường hợp :

Nếu p = 3k+1 thì p+2 = 3k+1+2 = 3k+3 ⇒ Ta có số có dạng : 3(k+1)

Do 3(k+1) chia hết cho 3 

⇒ p có dạng 3k+1 (loại)

⇒ p = 3k+2 

Ta lập luận : p+2 = 3k+2+2 = 3k+4 ( là 1 số nguyên tố ) 

⇒ p+1 = 3k+2+1 = 3k+3 ⇒ Ta có số có dạng : 3(k+1) chia hết cho 3 

Ta có : p là 1 số nguyên tố > 3 vì thế hiển nhiên p > 2 

Từ đó ta ⇒ rằng : p là 1 số nguyên tố lẻ 

⇒ p+1 là 1 số chẵn 

⇒ p+1 sẽ chia hết cho 2

Mà p chia hết cho cả 2 và 3

⇒ p ∈ ƯCLN(2;3) 

Mà ƯCLN(2;3) là 1 ⇒ p+1 chia hết cho 6(đpcm)

Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.

Chứng minh:

Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.

Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).

Khi đó:

\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)

Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy \(n\) là số lẻ.

Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).

Ta có:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).

Cách phân tích phù hợp là:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:

\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.

Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.

Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).

Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).

Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:

\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)

Hay \(d\mid 2^{2013}\).

Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).

Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.

Suy ra \(d=1\).

Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)

Số nguyên tố > 3 chỉ có 2 thôi nên p= 2

thế số 2 vào p

Ta có: 7p+1 =7.2+1=14+1=15

15 chia hết cho 1;3;5 và 15 nên 15 là hợp số. ~_~

ét 3 số tự nhiên liên tiếp: 10.p;10+1;2.(5p+1)

=> Có 1 số chia hết cho 3; một số chia hết cho 2

Vì p và 10p+1 là 2 sồ nguyên tố (p>3)

=>p và 10p+1 ko chia hết cho 3 và 2. Vì 10 và 3 nguyên tố cùng nhau; 10 chia hết cho 2

=>10p và 10p+1 ko chia hết cho 3; 10p chia hết cho 2; 10p+1 ko chia hết cho 2

=>10p+2 chia hết cho 3. Vì 2 chia hết cho 2=>10p+2 chia hết cho 2

Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau =>5p+1 chia hết cho cả 3 và 2

Vậy 5p+1 chia hết cho 6 (đpcm)

nhấn đúng nha

P=3+2^2(2+1)+2^4(2+1)+2^6(2+1)

=3(1+2^2+2^4+2^6)

=>đpcm