Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3
=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3
TH1: p=3a+1; q=3b+1
\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)
\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)
TH2: p=3a+1; q=3b+2
\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)
=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)
=(3a+3b+3)(3a-3b-1)
=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)
TH3: p=3a+2; q=3b+1
\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)
=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)
=(3a+3b+3)(3a-3b+1)
=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)
TH4: p=3a+2; q=3b+2
\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)
=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)
=(3a-3b)(3a+3b+4)
=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3
p,q là các số lẻ
=>p=2a+1; q=2b+1
\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)
\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)
Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp
nên a(a+1)⋮2
=>4a(a+1)⋮8
Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp
nên b(b+1)⋮2
=>4b(b+1)⋮8
\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)
=4a(a+1)-4b(b+1)
mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8
nên \(p^2-q^2\) ⋮8
mà \(p^2-q^2\) ⋮3
và ƯCLN(3;8)=1
nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8
=>\(p^2-q^2\) ⋮24
mà 48⋮24
nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24
Ta có :
\(n^2 - 1 = (n-1)(n+1)\)
\(n \) là nguyên tố lớn hơn \(3 \implies n-1;n+1\) là hai số chẵn liên tiếp
\(=> (n-1)(n+1) \) chia hết cho \(8\) \((1)\)
Vì \(n \) là nguyên tố lớn hơn 3 nên ta có : \(n = 3k +1 ; 3k +2\) \((2)\)
Với \(n= 3k + 1\)
\(=> (n-1)(n+1) = (3k+1-1)(n+1) = 3k(n+1) \) chia hết cho 3
Với \(n = 3k+2\)
\(=> (n-1)(n+1) = (n-1)(3k+2+1) = (n-1)(k+1)3 \) chi hết cho 3
- Từ \((1) \),\((2)\) ta thấy \((n-1)(n+1) = n^2 -1\) chia hết cho cả \(8;3\)
\(=> n^2 - 1 \) chia hết cho \(24 (đpcm)\)