Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
p là số nguyên tố >5=>p lẻ ,p kochia hết cho 3=>p^4 chia 3 dư 1=>p-1 chia hết cho 3
p là nt 5=>p lẻ p^4-1 chia hết cho 16
p là NT 5=>p có số tận cùng là 1,3,7,9=>p^4 coa chữ số tận cùng là 1=>p^4 chia hết cho 10
p chia hết cho 3 ;10;16=> chia hết cho 240
p nguyên tố>5 ==>p lẻ, p không chia hết cho 3 => p^4 chia 3 dư 1 => p-1 chia hết cho 3
p nguyên tố .5 => p lẻ => p^4-1 chia hết cho 16
p nguyên tố .5 => p có tận cùng 1 3 7 9 => p^4 có tận cùng 1 => p^4-1 chia hết cho 10
p chia hết cho 3,10,16 => chia hết cho 240(240 là bội chung nhỏ nhất của 3,10,16)
Mình sắp ngủ rồi nên giúp bạn câu này, kết bạn nha!
Ta có: p4-q4-(p4-1)-(q4-1); 240 - 8.2.3.5. Ta cần chứng minh p4-1 chia hết cho 240
- Do p>5 nên p là số lẻ
+ Mặt khác: p4-1-(p-1)(p+1)(p2+1)
=> (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1)(p+1) chia hết cho 8
+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ => p2+1 chia hết cho 2
p > 5 nên p có dạng
+ p-3k+1 => p-1-3k+1-1-3k chia hết cho 3 =>p4 - 1 chia hết cho 3
..............................
Tương tự ta cũng có q4 - 1 chia hết cho 240 .
Vậy (p4-1)-(q4-1) = p4 - q4 cho 240
Ta có: p^4-q^4-(p^4-1)-(q^4-1); 240 - 8.2.3.5. Ta cần chứng minh p^4-1 chia hết cho 240
- Do p>5 nên p là số lẻ
+ Mặt khác: p^4-1-(p-1)(p+1)(p^2+1)=> (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1)(p+1) chia hết cho 8
+ Do p là số lẻ nên p^2 là số lẻ => p^2+1 chia hết cho 2
p > 5 nên p có dạng
+ p-3k+1 => p-1-3k+1-1-3k chia hết cho 3 =>p^4 - 1 chia hết cho 3........
Tương tự ta cũng có q^4 - 1 chia hết cho 240 .
Vậy (p^4-1)-(q^4-1) = p^4 - q^4 cho 240
Mình gợi ý nè : Tách p^4 - q^4 thành (p - 1)(p + 1)(p2 - 1)
Chứng minh p^4 và q^4 chia hết cho 240
Chỉ cần chứng mình nó chia hết cho 16; 3 và 5.
Dễ chứng minh rồi, bạn tự làm nha !!!
Mình viết nhầm : chứng minh q4 - 1 và p4 - 1 chia hết cho 240
p;q là các số nguyên tố lớn hơn5
=>p,q là các số lẻ và p,q đều không chia hết cho 3
p là số lẻ nên p=2a+1
\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)
=(p-1)(p+1)\(\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1+1\right)\left\lbrack\left(2a+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=2a\left(2a+2\right)\left(4a^2+4a+1+1\right)=2a\cdot2\cdot\left(a+1\right)\cdot2\cdot\left(2a^2+2a+1\right)\)
\(=8a\left(a+1\right)\left(2a^2+2a+1\right)\) ⋮8
p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
TH1: p=3k+1
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(2)
TH2: p=3k+2
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(1)
Từ (1),(2) suy ra \(p^4-1\) ⋮3
p là số nguyên tố lớn hơn 5
=>p không chia hết cho 5
=>p∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}
TH1: p=5k+1
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(3)
TH2: p=5k+2
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)
\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(4)
TH3: p=5k+3
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)
\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(5)
TH4: p=5k+4
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)
\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(6)
Từ (3),(4),(5),(6) suy ra \(p^4-1\) ⋮5
mà \(p^4-1\) ⋮3 và \(p^4-1\) ⋮8; \(p^4-1\) ⋮2
và ƯCLN(3;5;8;2)=1
nên \(p^4-1\) ⋮3*5*8*2
=>\(p^4-1\) ⋮240(7)
q là số lẻ nên q=2b+1
\(q^4-1=\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)\)
=(q-1)(q+1)\(\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(2b+1-1\right)\left(2b+1+1\right)\left\lbrack\left(2b+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=2b\left(2b+2\right)\left(4b^2+4b+1+1\right)=2b\cdot2\cdot\left(b+1\right)\cdot2\cdot\left(2b^2+2b+1\right)\)
\(=8b\left(b+1\right)\left(2b^2+2b+1\right)\) ⋮8
q không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
TH1: q=3k+1
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(8)
TH2: q=3k+2
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(9)
Từ (8),(9) suy ra \(q^4-1\) ⋮3
q là số nguyên tố lớn hơn 5
=>q không chia hết cho 5
=>q∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}
TH1: q=5k+1
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(10)
TH2: q=5k+2
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)
\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(11)
TH3: q=5k+3
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)
\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(12)
TH4: q=5k+4
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)
\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(13)
Từ (10),(11),(12),(13) suy ra \(q^4-1\) ⋮5
mà \(q^4-1\) ⋮3 và \(q^4-1\) ⋮8; \(q^4-1\) ⋮2
và ƯCLN(3;5;8;2)=1
nên \(q^4-1\) ⋮3*5*8*2
=>\(q^4-1\) ⋮240(14)
Từ (7),(14) suy ra \(p^4-1-\left(q^4-1\right)\) ⋮240
=>\(p^4-q^4\) ⋮240