Đề bài có vẻ thiếu hoặc nhầm điều kiện. Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với \(3\) và \(a+b\) chia hết cho \(3\), thì mệnh đề cần chứng minh chưa đúng trong mọi trường hợp.

Ví dụ \(a=1,\ b=2\) thỏa mãn điều kiện, nhưng:

\(x^a+x^b+1=x+x^2+1=x^2+x+1\).

Trường hợp này chia hết, nhưng cần kiểm tra các điều kiện còn lại của đề để có lời giải tổng quát chính xác.

Cho \(f(x)\) là đa thức có hệ số nguyên, \(m,n\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh:

Chiều thuận: Giả sử \(f(m+n)\) chia hết cho \(mn\).

Vì \(m+n\equiv m\pmod n\) nên:

\(f(m+n)\equiv f(m)\pmod n\).

Mà \(f(m+n)\) chia hết cho \(n\), suy ra \(f(m)\) chia hết cho \(n\).

Tương tự, vì \(m+n\equiv n\pmod m\) nên \(f(n)\) chia hết cho \(m\).

Chiều đảo: Giả sử \(f(m)\) chia hết cho \(n\) và \(f(n)\) chia hết cho \(m\).

Ta có:

\(m+n\equiv m\pmod n\), suy ra \(f(m+n)\equiv f(m)\equiv0\pmod n\).

Tương tự:

\(m+n\equiv n\pmod m\), suy ra \(f(m+n)\equiv f(n)\equiv0\pmod m\).

Vậy \(f(m+n)\) chia hết cho cả \(m\) và \(n\).

Vì \(m,n\) nguyên tố cùng nhau nên \(f(m+n)\) chia hết cho \(mn\).

Vậy điều phải chứng minh.

a) Nếu p=3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\) là số nguyên tố

Nếu \(p\ge5\) thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)=\left(2^p+1\right)+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

Khi p là số nguyên tố , \(p\ge5\)=> p lẻ và p không chia hết cho 3; do đó: \(\left(2^p+1\right)\)chia hết cho 3 và (p-1)(p+1) chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(2^p+p^2\right)\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2+2^p\)không là số nguyên tố

Khi p=2, ta có : \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)là hợp số

Vậy duy nhất có p=3 thỏa mãn.

b) \(a+b+c+d=7\Rightarrow b+c+d=7-a\Rightarrow\left(b+c+d\right)^2=\left(7-a\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(b+c+d\right)^2\le3\left(b^2+c^2+d^2\right)\Rightarrow\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\) 

Lại có : \(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\)

Giải ra được : \(1\le a\le\frac{5}{2}\)

Vậy : a có thể nhận giá trị lớn nhất là \(\frac{5}{2}\), nhận giá trị nhỏ nhất là 1

Vì a,b,c là các số nguyên và a² + b² + c² chia hết cho 4

Nên \(\hept{\begin{cases}a^2⋮4\\b^2⋮4\\c^2⋮4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a⋮4\\b⋮4\\c⋮4\end{cases}}\)

Vì a,b,c đều đồng thơi chia hết cho 4

mặt khác , 4 chia hết cho 2

=> a , b , c đồng thời chia hết cho 2 

Xét a;b cùng lẻ , a,b cùng chẵn ; a,b có ít nhất 1 lẻ ; có ít nhất 1 chẵn :P
P/s: Chả bt đ.c không nhỉ - Mod xem hộ em vs .