a: Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOHC vuông tại H có

OH chung

HB=HC

Do đó: ΔOHB=ΔOHC

=>OB=OC

=>C thuộc (O;R)

ΔOHB=ΔOHC

=>\(\hat{BOH}=\hat{COH}\)

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\hat{BOA}=\hat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\hat{OBA}=\hat{OCA}\)

=>\(\hat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Sửa đề: OI cắt BC tại K

Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIA vuông tại I có

\(\hat{HOK}\) chung

Do đó: ΔOHK~ΔOIA

=>\(\frac{OH}{OI}=\frac{OK}{OA}\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OA=R^2\)

a) Nối O với N. Ta có \(\widehat{OAN}\)=\(\widehat{OBN}\)=\(\widehat{ONM}\)=90° →các góc này nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ON →O,A,B,N,M cùng nằm trên đường tròn đường kính ON.

b) Nối A với M. Xét tứ giác nội tiếp OANB(chứng minhnội tiếp trước)ta có \(\widehat{AMO}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widebat{OA}\);\(\widehat{OAB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widebat{OB}\) mà 

• \(\widebat{OA}\)=\(\widebat{OB}\)→\(\widehat{AMO}\)=.\(\widehat{OAB}\)=\(\widehat{OAI}\)Xét tam giác OAI và tam giác OMA: \(\widehat{O}\)chung ,\(\widehat{OAI}\)=\(\widehat{AMO}\)\(\Rightarrow\)hai tam giác đồng dạng (g.g) \(\Rightarrow\)\(\frac{OI}{OA}\)=\(\frac{OA}{OM}\)\(\Leftrightarrow\)OI.OM=\(^{OA^2}\)^=R​bình.​
• c)

a: Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOHC vuông tại H có

OH chung

HB=HC

Do đó: ΔOHB=ΔOHC

=>OB=OC

=>C thuộc (O)

ΔOHB=ΔOHC

=>\(\hat{BOH}=\hat{COH}\)

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\hat{BOA}=\hat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\hat{OBA}=\hat{OCA}\)

=>\(\hat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến tại C của (O)

b; Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIA vuông tại I có

\(\hat{HOK}\) chung

Do đó: ΔOHK~ΔOIA

=>\(\frac{OH}{OI}=\frac{OK}{OA}\)

=>\(OH\cdot OA=OI\cdot OK\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

=>\(OH\cdot OA=OI\cdot OK=R^2\)

a, Gọi AM giao CH tại K

          BM giao HD tại T

AC , AH là tt (M) => góc MKH = 90 độ

TT                           góc KMT = 90 độ

                               góc AMB = 90 độ 

=> góc KHT = 90 độ => Tam giác CHD vuông tại H

Ta có MC = MD = MH ( =R )

=> M thuộc DC => đpcm

Tam giác OMA cân tại O => OMA = OAM

CMA + CAM = 90 độ

CAM = MAH> OAM + CMA = 90 độ => OMA + AMC = 90 độ => OM vuông góc DC => đpcm

c, Tam giác OMI vuông tại M ( MI là tt ) => MO^2= HO.OI =R^2  

=> đpcm

O A B H C Q D E

a, Vì \(\hept{\begin{cases}OB=OC\\OA\perp BC\end{cases}}\)

=> OA là đường trung trực BC

Mà OA cắt BC tại H

=> H là trung điểm BC

b, Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> \(\widehat{ABO}=90^o\) 

Do OA là trung trực của BC

=> AB = AC
Xét \(\Delta\)ABO và \(\Delta\)ACO có :

AB = AC (cmt)

OB = OC (=R)

AO chung

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^o\)

\(\Rightarrow AC\perp CO\)

=> AC là tiếp tuyến (O) 

c, Xét tam giác OBA vuông tại B có
\(sin\widehat{BAO}=\frac{BO}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAO}=30^o\)

Vì AB , AC là 2 tiếp tuyến (O)

=> AO là p.g góc BAC

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=2\widehat{BAO}=2.30^o=60^o\)
Vì AB = AC (Cmt)

=> \(\Delta\)ABC cân tại A

Mà ^BAC = 60^o

=> \(\Delta\)ABC đều

Còn câu d, mình chưa nghĩ ra :(