Xét (O) có

\(\hat{MAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AD

\(\hat{AED}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\hat{MAD}=\hat{AED}\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB

ΔOAB cân tại O

mà OH là đường phân giác

nên OH⊥AB tại H

Xét ΔMAD và ΔMEA có

\(\hat{MAD}=\hat{MEA}\)

góc AMD chung

Do đó: ΔMAD~ΔMEA

=>\(\frac{MA}{ME}=\frac{MD}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot ME\left(1\right)\)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MD\cdot ME=MH\cdot MO\)

Tra google đấy bạn

AM=MB và OA=OB nên OM là trung trực AB tại H

Lại có ADOE nội tiếp nên \(\widehat{AEM}=\widehat{AED}=\widehat{AOD}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AD}\right)\)

\(\widehat{ADO}=90^0\left(\text{góc nt chắn nửa đg tròn}\right)\Rightarrow\widehat{AOD}+\widehat{OAD}=90^0\\ \text{Mà }\widehat{OAD}+\widehat{ADM}=90^0=\widehat{OAM}\\ \Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{ADM}\\ \Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\\ \Rightarrow\Delta MAD\sim\Delta MEA\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MD}{MA}\Rightarrow MA^2=MD\cdot ME\)

Mà theo HTL ta có \(MH\cdot MO=MA^2\)

Vậy ta có đpcm 

a: Xét (O) có

\(\hat{MNB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến NM và dây cung NB

\(\hat{NCB}\) là góc nội tiếp chắn cung NB

Do đó: \(\hat{MNB}=\hat{NCB}\)

Xét ΔMNB và ΔMCN có

\(\hat{MNB}=\hat{MCN}\)

góc NMB chung

Do đó: ΔMNB~ΔMCN

=>\(\frac{MN}{MC}=\frac{MB}{MN}\)

=>\(MN^2=MB\cdot MC\)

b: BCED là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CBD}+\hat{CED}=180^0\)

mà \(\hat{CBD}+\hat{MBD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MBD}=\hat{MEC}\)

Xét ΔMBD và ΔMEC có

\(\hat{MBD}=\hat{MEC}\)

góc BMD chung

Do đó: ΔMBD~ΔMEC

=>\(\frac{MB}{ME}=\frac{MD}{MC}\)

=>\(MB\cdot MC=MD\cdot ME\)

a: Xét ΔMNB và ΔMCN có 

\(\widehat{CMN}\) chung

\(\widehat{MNB}=\widehat{MCN}\)

Do đó: ΔMNB\(\sim\)ΔMCN

Suy ra: \(MN^2=MB\cdot MC\)

a: Xét ΔMNB và ΔMCN có 

\(\widehat{NMB}\) chung

\(\widehat{MNB}=\widehat{MCN}\)

Do đó: ΔMNB∼ΔMCN

Suy ra: \(\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MB}{MN}\)

hay \(MN^2=MB\cdot MC\)

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>góc MCH=góc MOD

=>góc HOD+góc HCD=180 độ

=>HODC nội tiếp

a: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung AC
\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

b: ΔOAB cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOB và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBM}\)

=>\(\hat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

c: Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

=>\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

góc HMC chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)