* Cách dựng

- Dựng đoạn OM

- Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B.

Nối A và B ta được dây cần dựng

*Chứng minh

Ta có: OM ⊥ AB ⇒ MA = MB

help me DX

Vì \(\widehat{ABO}\)là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AB và dây cung BD ( đường kính AB )

\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\frac{1}{2}.\widehat{BOD}=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Chứng mình ương tự với \(\widehat{ACO}\), suy ra \(\widehat{ACO}=90^o\)

Xét tứ giác ABOC có : 

Góc ABO và góc ACO là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ( theo tính chất tổng hai góc đối bằng 180 độ ... )

Gọi I là trung điểm của AB

Có tam giác ABO vuông tại B, trung tuyến là BI

=> BI = 1/2.AO=AI=IO (1)

Tam giác ACO vuông tại C, có trung tuyến là CI

=> CI=1/2.AO=AI=IO (2)

Từ (1) và (2) => BI = AI = IO = IC

=> I cách đều 4 đỉnh tứ giác ABOC 

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC , có bán kinh R= 1/2.AO

a: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{AB}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥AB tại I

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>OI=4(cm)

OI+IM=OM

=>IM=5-4=1(cm)

ΔAIM vuông tại I

=>\(IA^2+IM^2=AM^2\)

=>\(AM^2=3^2+1^2=10\)

=>\(AM=\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: I là trung điểm của AB

=>AI=AB/2=3(cm)

ΔAIN vuông tại I

=>\(IA^2+IN^2=AN^2\)

=>\(IN^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>NI=4(cm)

Xét (O) có

ΔNAM nội tiếp

NM là đường kính

Do đó: ΔNAM vuông tại A

Xét ΔANM vuông tại A có AI là đường cao

nên \(NI\cdot NM=NA^2\)

=>NM=5^2/4=6,25(cm)

=>R=6,25/2=3,125(cm)

c) Gọi giao điểm của BM với Ax là I. Từ M kẻ MK vuông góc với AB. BC cắt MK tại E.

Vì MK vuông góc AB => MK // AC // BD

EK // AC => \(\frac{EK}{AC}=\frac{BE}{BC}\); ME // IC => \(\frac{ME}{IC}=\frac{BE}{BC}\) => \(\frac{EK}{AC}=\frac{ME}{IC}\)

Tam giác MIA vuông tại M có CA = CM => góc CAM = góc CMA => góc CIM = góc CMI => tam giác CMI cân tại C => CI = CM => CM = CI = CA => EK = ME.

\(EK=ME\Rightarrow\frac{EK}{BD}=\frac{ME}{BD}\)mà \(\frac{ME}{BD}=\frac{CM}{CD}=\frac{AK}{AB}\Rightarrow\frac{EK}{BD}=\frac{AK}{AB}\)

=> Tam giác AKE đồng dạng với tam giác ABD (c.g.c) => góc EAK = góc DAK => A,E,D thẳng hàng => BC cắt AD tại E mà theo giả thiết BC cắt AD tại N => E trùng với N => H trùng với K => N là trung điểm MH.