a: Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN và OA là phân giác của góc MON

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{BAO}=90^0\) (ΔMAO vuông tại M)

\(\hat{BOA}+\hat{NOA}=\hat{BON}=90^0\)

mà \(\hat{MOA}=\hat{NOA}\)

nên \(\hat{BAO}=\hat{BOA}\)

=>BO=BA

Xét ΔOMA vuông tại M có sin MAO=\(\frac{MO}{OA}=\frac35\)

=>cos MAO=\(\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45\)

Xét ΔBAO có \(cosBAO=\frac{AO^2+AB^2-BO^2}{2\cdot AO\cdot AB}\)

=>\(\frac{5^2+AB^2-AB^2}{2\cdot AB\cdot AB}=\frac45\)

=>\(\frac{5^2}{2\cdot AB^2}=\frac45\)

=>\(2\cdot AB^2=5^2\cdot\frac54=\frac{125}{4}\)

=>\(AB^2=\frac{125}{8}=\frac{250}{16}\)

=>\(AB=\frac{5\sqrt{10}}{4}\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(BO=BA=\frac{5\sqrt{10}}{4}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔBAO có \(\frac{BO}{\sin BAO}=2R\)

=>\(2R=\frac{5\sqrt{10}}{4}:\frac35=\frac{5\sqrt{10}}{4}\cdot\frac53=\frac{25\sqrt{10}}{12}\)

=>\(R=\frac{25\sqrt{10}}{24}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: góc OMA+góc ONA=180 độ

=>OMAN nội tiếp

b: AM=căn 9a^2-4a^2=a*căn 5

S AMON=2*S AMO=AM*MO=2a^2*căn 5

A B C O I M

1.Vì đường kính của (O) là 10cm

\(\Rightarrow\) Bán kính của (O) là  \(R=\frac{10}{2}=5\)

\(\Rightarrow d\left(O,d\right)=3< R=5\)

\(\Rightarrow d\left(O\right)\)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

2 . Kẻ \(OI\perp AB\Rightarrow I\) là trung điểm AB

Vì \(OI\perp AB\Rightarrow OI=3\Rightarrow AI^2=OA^2-0I^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow AI=4\Rightarrow AB=2AI=8\) vì I là trung điểm AB

3.Vì O, I là trung điểm AC,AB

=> OI là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow BC=2OI=6\)

4 . Vì AC là đường kính của (O) 

\(\Rightarrow CB\perp AB\Rightarrow CB\perp AM\)

Mà \(CA\perp CM\Rightarrow CB^2=AB.BM\)

\(\Rightarrow BM=\frac{BC^2}{AB}=\frac{6^2}{8}=\frac{9}{2}\)

a: góc OAM+góc OBM=90+90=180 độ

=>AOBM nội tiếp

b: góc BOM=1/2*góc AOB=góc BCA

a: Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó: DA=DC và OD là phân giác của góc AOC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥AC

c: Sửa đề: CH⊥AB tại H

Ta có: CH⊥AB

MA⊥ AB

Do đó: CH//MA

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔACB vuông tại C

=>AC⊥MB tại C

Ta có: \(\hat{DCA}+\hat{DCM}=\hat{ACM}=90^0\)

\(\hat{DAC}+\hat{DMC}=90^0\) (ΔACM vuông tại C)

mà \(\hat{DCA}=\hat{DAC}\) (ΔDAC cân tại D)

nên \(\hat{DCM}=\hat{DMC}\)

=>DM=DC

mà DA=DC

nên DM=DA(1)

Xét ΔBAD có IH//AD
nên \(\frac{IH}{AD}=\frac{BI}{BD}\left(2\right)\)

Xét ΔBDM có CI//DM

nên \(\frac{CI}{DM}=\frac{BI}{BD}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra IH=CI