a, Học sinh tự chứng minh

b, DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ  A D 2  = AH.AB

c,  E A C ^ = E D C ^ = 1 2 s đ E C ⏜ ;  E A C ^ = K H C ^  (Tứ giác AKCH nội tiếp)

=> E D C ^ = K H C ^ => DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) => Đpcm

Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay tam giác ADB vuông tại D

Xét tam với vuông ADB với đường cao DH, áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AD^2=AH.AB\) 

a; Xét (O) có

ΔAFB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAFB vuông tại F

=>FB⊥IA tại F

Xét tứ giác AFEH có \(\hat{AFE}+\hat{AHE}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFEH là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAIB có

BF,IH là các đường cao

BF cắt IH tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔAIB

=>AE⊥IB

Xét tứ giác BHFI có \(\hat{BHI}=\hat{BFI}=90^0\)

nên BHFI là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFH}=\hat{BIH}\)

mà \(\hat{BIH}=\hat{BAE}\left(=90^0-\hat{IBA}\right)\)

nên \(\hat{BFH}=\hat{BAE}\)

Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBFA vuông tại F có

\(\hat{HBE}\) chung

Do đó: ΔBHE~ΔBFA

=>\(\frac{BH}{BF}=\frac{BE}{BA}\)

=>\(BH\cdot BA=BF\cdot BE\)

c: Xét ΔHIA vuông tại H và ΔHBE vuông tại H có

\(\hat{HIA}=\hat{HBE}\left(=90^0-\hat{IAB}\right)\)

Do đó: ΔHIA~ΔHBE

IFEM là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{IFE}+\hat{IME}=180^0\)

=>\(\hat{IME}=180^0-90^0=90^0\)

=>AE⊥IB tại M

=>ΔAMB vuông tại M

=>M nằm trên đường tròn đường kính AB

=>M nằm trên (O)