Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: ΔOAB cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI là đường cao và OI là phân giác của \(\widehat{AOB}\)
Xét ΔOAC và ΔOBC có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
OC chung
Do đó: ΔOAC=ΔOBC
=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90^0\)
=>CB là tiếp tuyến của (O)
b: I là trung điểm của AB
=>IA=IB=AB/2=12cm
ΔOIA vuông tại I
=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)
=>\(OI^2+12^2=13^2\)
=>\(OI^2=169-144=25\)
=>\(OI=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)
Xét ΔOAC vuông tại A có AI là đường cao
nên \(OI\cdot OC=OA^2\)
=>\(OC\cdot5=13^2=169\)
=>OC=33,8(cm)
TA có \(MO=AO=BO\) và O là trung điểm của \(BA\)
\(\rightarrow\Delta MAB\perp M\)
hay \(BM\perp AN\)
Lại có \(NB\) là tiếp tuyến của đường tròn
\(\rightarrow NB\perp AB\)
Gọi \(MN=x\rightarrow AN=AM+x\)
Xét \(\Delta ABN\perp B\) có \(BM\) là đường cao
Theo hệ thức lượng ta có:
\(AB^2=AN.AM\)
\(\rightarrow12^2=AM.\left(AM+x\right)\left(1\right)\)
Do : \(AI=AM+MI=AM+\frac{MN}{2}\)
\(\rightarrow13=AM+\frac{x}{2}\)
\(\rightarrow AM=13-\frac{x}{2}\)
\(\left(1\right)\rightarrow144=\left(13-\frac{x}{2}\right).\left(13-\frac{x}{2}+x\right)\)
\(\rightarrow\left(13-\frac{x}{2}\right)\left(13+\frac{x^2}{4}\right)=144\)
\(\rightarrow13^2-\frac{x^2}{4}=144\)
\(\rightarrow x^2=100\)
\(\rightarrow x=10\)
\(\rightarrow AN=13-\frac{x}{2}+x=18\left(cm\right)\)
a) Tứ giác ACMD là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) OI là đường trung trực của tam giác cân COD nên góc COI = góc DOI.
=> \(\Delta OCI=\Delta ODI\)(c.g.c) => góc ODI = góc OCI = 90o, do đó ID cắt OD.
Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Ta có CD vuông góc với AM tại trung điểm (1)
=> OA vuông góc với CD tại trung điểm
=>> AM vuông góc với CD tại trung điểm (2)
Từ (1), (2)=> ACMD là hình thoi
\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)
∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))
∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))
=> ∠DMO + ∠DAO = 180o
=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.
\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)
=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM
=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
=> ∠AOD = ∠ABM
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> OD // BM
Xét tam giác ABN có:
OM// BM; O là trung điểm của AB
=> D là trung điểm của AN
c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB
=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)
ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:
∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o
=>OB ⊥ BE
Vậy BE là tiếp tuyến của (O).
d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)
Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến
=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)
=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN
Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB
=> IA là trung tuyến của tam giác NAB
Xét ΔBNA có:
IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}
=> J là trọng tâm của tam giác BNA
Xét tam giác AIO có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)
=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.
Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d
Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)
\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)
AI là trung tuyến của tam giác NAB
=> J' là trọng tâm tam giác NAB
Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.
HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA
a: Xét (O) có
ΔAMH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAMH vuông tại M
=>HM⊥AB tại M
Xét (O) có
ΔANH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔANH vuông tại N
=>HN⊥AC tại N
Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AH
nên O là trung điểm của MN
=>M,O,N thẳng hàng
Xét (O) có
OH là bán kính
BC⊥OH tại H
Do đó: BC là tiếp tuyến tại H của (O)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c: ΔABC vuông tại A
mà AI là đường trung tuyến
nên IA=IC
=>ΔIAC cân tại I
=>\(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)
ANHM là hình chữ nhật
=>\(\hat{ANM}=\hat{AHM}\)
mà \(\hat{AHM}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
nên \(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)
\(\hat{IAC}+\hat{ANM}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>AI⊥MN tại K
Xét ΔAKO vuông tại K và ΔAHI vuông tại H có
\(\hat{KAO}\) chung
Do đó: ΔAKO~ΔAHI
=>\(\frac{AK}{AH}=\frac{AO}{AI}\)
=>\(AK\cdot AI=AH\cdot AO=AH\cdot\frac12\cdot AH=\frac12AH^2\)