Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a:
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥DB tại M
Ta có: \(\hat{MAB}+\hat{MBA}=90^0\) (ΔMAB vuông tại M)
\(\hat{MAB}+\hat{ACI}=90^0\) (ΔACI vuông tại I)
Do đó: \(\hat{MBA}=\hat{ACI}\)
Xét (O) có
\(\hat{NMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MN và dây cungMA
\(\hat{MBA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
Do đó: \(\hat{NMA}=\hat{MBA}\)
mà \(\hat{MBA}=\hat{NCM}\left(=\hat{ACI}\right)\)
nên \(\hat{NMC}=\hat{NCM}\)
=>NM=NC
Ta có: \(\hat{NCM}+\hat{NDM}=90^0\) (ΔDMC vuông tại M)
\(\hat{NMC}+\hat{NMD}=\hat{CMD}=90^0\)
mà \(\hat{NCM}=\hat{NMC}\)
nên \(\hat{NDM}=\hat{NMD}\)
=>ND=NM
mà NM=NC
nên ND=NC
=>N là trung điểm của CD
b: Xét ΔKAO có
KI là đường cao
KI là đường trung tuyến
Do đó: ΔKAO cân tại K
=>KA=KO=R
=>OA=OK=KA=R
=>ΔOAK đều
mà KI là đường trung tuyến
nên \(KI=AO\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}\)
=>\(IC=\frac{R\sqrt3}{4}\)
Xét ΔIAC vuông tại I và ΔIDB vuông tại D có
\(\hat{IAC}=\hat{IDB}\left(=90^0-\hat{IBD}\right)\)
Do đó: ΔIAC~ΔIDB
=>\(\frac{IA}{ID}=\frac{IC}{IB}\)
=>\(IC\cdot ID=IA\cdot IB\)
=>\(ID\cdot\frac{R\sqrt3}{4}=\frac{R}{2}\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3R^2}{4}\)
=>\(ID=\frac{3R^2}{4}:\frac{R\sqrt3}{4}=\frac{3R^2}{R\sqrt3}=R\sqrt3\)
IC+CD=ID
=>\(CD=ID-IC=R\sqrt3-\frac{R\sqrt3}{4}=\frac34R\sqrt3\)
Xét △AKC và △DBC có: C = 900, góc KAC = góc CDB (cùng phụ với góc B) => △AKC đồng dạng với △DBC => AC/DC = KC/BC=> KC.DC = AC.BC (✳)
Cũng có △IAB vuông tại I có IC vuông góc với AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có IC2=AC.CB (**)
Từ (*) và (**) => KC.DC=IC2 => KC/IC=IC/DC=1/2 => DC = 2IC
IC2=AC.BC=1/2R . 3/2R = 3/4R2 =>IC = \(\sqrt{ }\)3/2 R=> DC = căn 3 R.
S△ADB = 1/2 DC.AB=căn 3 R2
góc ECM=góc ECA=1/2*sđ cung AC
góc EMC=góc AMI=góc ABC=1/2*sđ cung AC
=>góc ECM=góc EMC
=>ΔEMC cân tại E
A B O C D M E F K I N L
Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.
Dễ thấy ^BNA = 900. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA
Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK
Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 3600 - ^ANM - ^KNM
= (1800 - ^ANM) + (1800 - ^KNM) = ^ABM + (1800 - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA
=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A
=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)
Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)
Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const
Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi
=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi
Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).