a: Xét (O) có 

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác CEHF có 

\(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{FCE}=90^0\)

Do đó: CEHF là hình chữ nhật

a: Xét (O) có 

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác CEHF có 

\(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{FCE}=90^0\)

Do đó: CEHF là hình chữ nhật

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CEHF có

\(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{FCE}=90^0\)

=>CEHF là hình chữ nhật

b: Gọi I là trung điểm của HB

CEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MFH}=\widehat{MCH}\)

=>\(\widehat{MFH}=\widehat{ACH}\)

mà \(\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{CAH}\right)\)

nên \(\widehat{MFH}=\widehat{ABC}\)

Ta có: ΔFHB vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH=IB

=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔFHB

FI=FH nên \(\widehat{FIH}=\widehat{FHI}\)

\(\widehat{MFI}=\widehat{MFH}+\widehat{HFI}\)

\(=\widehat{B}+\widehat{FHI}\)

\(=90^0\)

=>EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính BH

c: CEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{CEF}=\widehat{CHF}\)

mà \(\widehat{CHF}=\widehat{CBA}\left(=90^0-\widehat{CAB}\right)\)

nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CBA}\)

Ta có: OA=OC

=>ΔOAC cân tại O

=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)

\(\widehat{OCA}+\widehat{CEF}=\widehat{OAC}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>CO vuông góc với EF

=>CO vuông góc với MN

Ta có: ΔOMN cân tại O

mà OC là đường cao

nên CO là đường trung trực của MN

=>C nằm trên trung trực của MN

=>CM=CN

(O) có đường kính là AB=20cm

=>OA=OB=AB/2=10(cm)

C là điểm chính giữa của (O)

=>OC⊥AB tại O và sđ cung CA=sđ cung CB=90 độ

=>OC=OA=OB=10(cm)

ΔOHD vuông tại H

=>\(HD^2+HO^2=OD^2\)

=>\(HD^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>HD=8(cm)

Kẻ CP⊥DH tại P

Xét tứ giác COHP có \(\hat{COH}=\hat{OHP}=\hat{CPH}=90^0\)

nên COHP là hình chữ nhật

=>CP=OH=6cm; HP=CO=10cm

HD+DP=HP

=>DP=10-8=2(cm)

Xét ΔDPC vuông tại P có tan DCP=\(\frac{DP}{PC}=\frac26=\frac13\)

Gọi F là giao điểm của PC và AE

DC//AE

=>\(\hat{PCD}=\hat{PFA}\) (1)

PC//AB

=>\(\hat{PFA}=\hat{FAB}=\hat{EAB}=\hat{EAK}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{PCD}=\hat{EAK}\)

=>tan EAK=tan PCD=1/3

=>EK/AK=1/3

=>AK=3EK

Xét (O) có

ΔEAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔEAB vuông tại E

Xét ΔEAB vuông tại E có EK là đường cao

nên \(EK^2=KA\cdot KB=KA\cdot\left(AB-KA\right)\)

=>\(EK^2=3\cdot EK\left(20-3EK\right)\)

=>EK=3(20-3EK)=60-9EK

=>10EK=60

=>EK=6(cm)

=>AK=3*EK=3*6=18(cm)

ΔKAE vuông tại K

=>\(S_{KAE}=\frac12\cdot KA\cdot KE=\frac12\cdot6\cdot18=3\cdot18=54\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

1: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

2: Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB

nên \(\widehat{xAB}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BA}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung BA

Do đó: \(\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BA}\)

=>\(\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{AHF}\)

mà \(\widehat{AHF}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{xAB}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//EF

Ta có: Ax//EF

OA\(\perp\)Ax

Do đó: OA\(\perp\)EF

I A B O H D E C C'

1. Vì \(\Delta ADC\)nội tiếp đường tròn đường kính AO \(\Rightarrow\widehat{ADO}=90^O\Rightarrow OD⊥AC\left(1\right)\)mà \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^O\Rightarrow BC⊥AC\left(2\right)\)từ 1 và 2 có \(OD\downarrow\uparrow BC\)Mà O là trung điểm BC thì D sẽ phải là trung điểm AC => AD = DC
2. do \(OH⊥BC\Rightarrow\widehat{CHO}=90^0\left(3\right)\)Mà \(\widehat{ODC}=90^0\left(4\right)\)TỪ 3 và 4 có D và H nhìn OC dưới cùng một góc vuông nên DOHC nội tiếp đường tròn đường kính OC
3. Vì \(OA=OB=OC=\frac{AB}{2}=3,HB=2OH\Rightarrow HB=\frac{2}{3}OB=\frac{2.3}{3}=2\).Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta BCA\)có \(BC=\sqrt{HB.AB}=\sqrt{2.6}=\sqrt{12}\)Và HA=AB-HB=6-2=4 => \(AC=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{4.6}=2\sqrt{6}\Rightarrow DC=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\)Xét Vuông \(\Delta DCB\)có:\(BD^2=DC^2+BC^2=6+12=18\),\(ID=IO=\frac{OA}{2}=\frac{3}{2}\),\(IB=IO+OB=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{4}\)ta có :\(ID^2+BD^2=\frac{9}{4}+18=\frac{81}{4}=IB^2\)Vậy theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có \(\Delta IDB\)Vuông tại D \(\Rightarrow ID⊥BD\)Mà ID là bán kính của (I) => BD là tiếp tuyến của (I)

Bạn kia làm đúng rồiV^V

f